En 1637, el filósofo y matemático francés Descartes publicó el libro "Metodología". Hay tres apéndices al final de este libro, uno llamado óptica refractiva, otro llamado meteorología y otro llamado geometría. En ese momento, "geometría" en realidad se refería a las matemáticas, al igual que los significados de "aritmética" y "matemáticas" en la antigua China.
La geometría de Descartes se divide en tres volúmenes. El primer volumen trata sobre cómo dibujar una regla; el segundo volumen trata sobre las propiedades de las curvas; el tercer volumen trata sobre cómo dibujar sólidos e "hipersólidos", que en realidad son preguntas algebraicas y analizan las propiedades de las raíces de las ecuaciones. Generaciones posteriores de matemáticos e historiadores de las matemáticas tomaron la geometría de Descartes como punto de partida de la geometría analítica.
Se puede ver en la "Geometría" de Descartes que la idea central de Descartes es establecer una matemática "universal" que unifique la aritmética, el álgebra y la geometría. Concibió que convertir cualquier problema matemático en un problema algebraico era reducir cualquier problema algebraico a resolver una ecuación.
Para hacer realidad la hipótesis anterior, Descartes señaló la relación correspondiente entre los puntos del plano y el par de números reales (x, y) del sistema de longitud y latitud de la astronomía y la geografía. Diferentes valores de xey pueden determinar muchos puntos diferentes en el plano, por lo que las propiedades de la curva se pueden estudiar algebraicamente. Ésta es la idea básica de la geometría analítica.
En concreto, la idea básica de la geometría analítica plana tiene dos puntos clave: primero, establecer un sistema de coordenadas en el plano, y las coordenadas de un punto corresponden a un conjunto de pares de números reales ordenados; , establecer coordenadas en el plano Después del sistema, una curva en el plano se puede representar mediante una ecuación algebraica bidimensional. Se puede ver que la aplicación del método de coordenadas no solo puede resolver problemas geométricos mediante métodos algebraicos, sino que también conecta estrechamente conceptos importantes como variables, funciones, números y formas.
La aparición de la geometría analítica no es casual. Antes de que Descartes escribiera geometría, muchos estudiosos utilizaban dos líneas rectas que se cruzaban como sistema de coordenadas para estudiar. Mientras estudiaba astronomía y geografía, alguien propuso que una ubicación se puede determinar utilizando dos "coordenadas" (longitud y latitud). Todos estos tuvieron una gran influencia en la creación de la geometría analítica.
En la historia de las matemáticas, se cree generalmente que el matemático aficionado francés Fermat, contemporáneo de Descartes, fue también uno de los fundadores de la geometría analítica y debería compartir el honor de la creación de esta disciplina.
Fermat fue un erudito aficionado dedicado a la investigación matemática e hizo importantes aportaciones en teoría de números, geometría analítica, teoría de probabilidades, etc. Era modesto y tranquilo y no tenía intención de publicar su "libro". Pero por su correspondencia sabemos que mucho antes de que Descartes publicara "Geometría", ya había escrito un breve artículo sobre geometría analítica y ya tenía la idea de la geometría analítica. No fue hasta 1679, después de la muerte de Fermat, que sus pensamientos y escritos se publicaron en Cartas a un amigo.
Como obra de geometría analítica, la "Geometría" de Descartes está incompleta, pero es importante introducir nuevas ideas y contribuir a abrir un nuevo campo de las matemáticas.
Contenido básico de la geometría analítica
En geometría analítica, primero se establece el sistema de coordenadas. Como se muestra en la figura anterior, dos líneas rectas mutuamente perpendiculares en un plano con una determinada dirección y unidad de medida se denominan sistema de coordenadas rectangulares oxi. Utilizando un sistema de coordenadas, se puede establecer una relación uno a uno entre un punto del plano y un par de números reales (x, y). Además del sistema de coordenadas rectangulares, también existen sistemas de coordenadas oblicuas, coordenadas polares, sistemas de coordenadas espaciales rectangulares, etc. También hay coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas en el sistema de coordenadas espaciales.
El sistema de coordenadas establece la estrecha relación entre objetos geométricos y números, relaciones geométricas y funciones, de modo que el estudio de formas espaciales puede simplificarse en el estudio de relaciones cuantitativas relativamente maduras y fáciles de controlar. Este método de aprender geometría a menudo se denomina método analítico. Este método de análisis es importante no sólo para la geometría analítica, sino también para el estudio de diversas ramas de la geometría.
El establecimiento de la geometría analítica introdujo una serie de nuevos conceptos matemáticos, especialmente la introducción de variables en las matemáticas, lo que llevó a las matemáticas a un nuevo período de desarrollo, que es el período de las matemáticas variables. La geometría analítica contribuyó al desarrollo de las matemáticas. Engels comentó una vez: "El punto de inflexión en las matemáticas son las variables de Descartes. Con el cambio de libros, el movimiento entra en las matemáticas; con las variables, la dialéctica entra en las matemáticas; con las variables, la diferenciación y la integración serán inmediatamente necesarias,..."
Aplicaciones de la geometría analítica
La geometría analítica se divide en geometría analítica plana y geometría analítica espacial.
En geometría analítica plana, además de estudiar las propiedades de las rectas, estudiamos principalmente las propiedades de las secciones cónicas (circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas).
En geometría analítica espacial, además de las propiedades de los planos y rectas, se estudian principalmente cilindros, conos y superficies de revolución.
Algunas propiedades de elipses, hipérbolas y parábolas se utilizan ampliamente en la producción o la vida. Por ejemplo, la superficie reflectante de la bombilla de un proyector de películas es elíptica, con el filamento en un foco y la puerta de la película en otro foco; se fabrican reflectores, focos, cocinas solares, antenas de radar, antenas parabólicas y radiotelescopios; utilizando el principio de las parábolas.
En términos generales, la geometría analítica puede resolver dos problemas básicos utilizando el método de coordenadas: uno es establecer la trayectoria de un punto que cumple unas condiciones dadas y establecer su ecuación a través del sistema de coordenadas; ecuación Investigar las propiedades de las curvas expresadas por ecuaciones.
Los pasos para utilizar el método de coordenadas para resolver problemas son: primero establecer un sistema de coordenadas en el plano y "traducir" las condiciones geométricas de la trayectoria del punto conocido a un sistema de ecuaciones algebraicas; herramientas para estudiar las ecuaciones; y finalmente utilizar la geometría. El lenguaje describe las propiedades de las ecuaciones algebraicas y obtiene respuestas a problemas geométricos originales.
La idea del método de coordenadas impulsa a las personas a utilizar varios métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Lo que antes se consideraban problemas difíciles de geometría se vuelven mundanos una vez que se utilizan métodos algebraicos. El método de coordenadas también proporciona una poderosa herramienta para la prueba mecanizada de las matemáticas modernas.