El método de diferencia de cuadrados también se llama método de diferencia de puntos. El núcleo de este método es la fórmula de diferencia de cuadrados:
Cuando se trata de la relación. entre secciones cónicas y acordes, estas fórmulas suelen tener grandes resultados. Además, este método es aplicable a todo tipo de secciones cónicas, incluidas circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.
El método de diferencia de puntos y algunas conclusiones comunes derivadas del método de diferencia de puntos son puntos de prueba de alta frecuencia en las matemáticas del examen de ingreso a la universidad y se les debe prestar atención.
Para representar dos puntos diferentes en la elipse
Resta las dos ecuaciones para obtener:
Por supuesto, también se puede escribir como:
donde , representa el punto medio de la cuerda.
Interpretación de la fórmula
La fórmula anterior se puede interpretar en palabras de la siguiente manera:
Esta es una conclusión importante y de uso común, y también es una Punto de prueba de alta frecuencia.
Ejemplos de preguntas de prueba reales
En el Documento Nacional 2 de 2015, el proceso de derivación de las conclusiones comúnmente utilizadas anteriormente se utiliza directamente como pregunta de prueba. Para más detalles, consulte:
Documento Nacional B de Literatura y Matemáticas de 2015, Pregunta 20
Hay más preguntas, pero las conclusiones anteriores deben aplicarse en el proceso de solución:
20 preguntas del trabajo nacional de literatura y matemáticas de 2010
20 preguntas del trabajo nacional de ciencias y matemáticas de 2010
20 preguntas del trabajo nacional B de literatura y matemáticas de 2013
Documento científico nacional de 2020 Pregunta A 20
La ecuación de la parábola:
Debido a que los dos puntos están en la parábola, por lo tanto,
,
Sea el punto medio , entonces
o:
Interpreta la fórmula
La fórmula anterior se puede expresar en palabras de la siguiente manera:
p>
Para una parábola con el eje como eje de simetría, se mantienen las siguientes conclusiones:
(1) El producto de la pendiente de la cuerda de la parábola por las coordenadas del punto medio de la cuerda es igual a la distancia focal
(2) El mismo conjunto de cuerdas paralelas (pendientes iguales), con sus puntos medios en la misma recta perpendicular al eje.
(3) Según la pendiente de la cuerda de la parábola, se pueden calcular las coordenadas de la cuerda al revés;
Ejemplos de preguntas de exámenes reales
20 Preguntas B del Documento Nacional de Matemáticas 2018
20 Preguntas C del Documento Nacional de Matemáticas 2017
Documento Nacional de 1987 Pregunta 21
La ecuación de la parábola:
Debido a que los dos puntos están en la parábola, por lo tanto,
,
Sea el punto medio, entonces
o:
Interpreta la fórmula
Lo anterior La fórmula se puede expresar en palabras de la siguiente manera:
Interpretación de la fórmula
La fórmula anterior se puede expresar en palabras de la siguiente manera:
Para una parábola con eje como eje de simetría, se cumple la siguiente conclusión:
(1 ) El producto de la pendiente de la cuerda de la parábola y las coordenadas del punto medio de la cuerda es igual a la distancia focal
(2) Para un mismo conjunto de cuerdas paralelas (pendientes iguales), los puntos medios se ubican en la misma recta perpendicular al eje.
(3) Según la pendiente de la cuerda de la parábola, se pueden calcular las coordenadas de la cuerda al revés;
Ejemplos de preguntas de exámenes reales
Pregunta 20 del Documento Nacional A de Literatura y Matemáticas de 2017
Si la ecuación de un círculo es:
Dos puntos están en el círculo, y registra el punto medio como, entonces
Es decir: De hecho, el teorema del diámetro vertical se obtiene analíticamente.
Como se muestra en la figura, la ecuación de la parábola es: , es la cuerda de la parábola Manteniendo la pendiente de la cuerda sin cambios y moviéndose hacia la izquierda, las coordenadas de su punto medio permanecen sin cambios, y. al mismo tiempo, los tres puntos continúan acercándose y finalmente se convierte en un punto. En este momento, la línea recta y la parábola tienen solo un punto en común, y la línea recta también cambia de la cuerda de la parábola a una tangente.
Es decir, si se traza una cuerda paralela a la recta tangente, las coordenadas del punto medio de la cuerda son iguales a las coordenadas del punto tangente.
Si las coordenadas del punto tangente son, entonces
La ecuación de la recta tangente es:
De la misma manera , si la ecuación de la parábola es: , entonces
La ecuación de la recta tangente es:
¿Qué papel puede jugar el método de la diferencia de cuadrados?
La función del método de diferencia de cuadrados (método de diferencia de puntos), en resumen, es asociar la pendiente de la cuerda con las coordenadas del punto medio de la cuerda. Hay muchos problemas que se pueden resolver:
p>( 1) Problema de longitud de cuerda
(2) Encuentra la ecuación de trayectoria del punto medio de la cuerda
(3) Encuentra el rango de pendiente de la cuerda
(4) Encuentra la recta tangente La ecuación de
(5) Problema de punto fijo
Como se puede ver en los ejemplos anteriores de preguntas reales, existen Hay muchas oportunidades para utilizar este método en el examen de ingreso a la universidad.