Grupo a
1. Se sabe que sen α = 55, sen (α-β) =-1010. , y α y β son todos ángulos agudos, entonces β es igual a _ _ _ _ _ _.
Análisis: ∵ α y β son ángulos agudos, ∴-π 2
∵sinα=55, ∴cosα= 1-(55)2 = 255.
∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=22.
∫0 <β& lt ; π2, ∴ β = π4. Respuesta: π 4
2 Conocido 0
Análisis: ∫0
∴cosβ= cos[(α +β). )-α]= cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-45)×35+(-35)×45 =-2425. Respuesta:-2425.
3. Si tanα y tanβ son dos = 0 en la ecuación x2-3x-3, entonces sen (α+β) cos (α-β) = _ _ _ _ _ _.
Análisis: tan α+tan β = 3, tan α tan β =-3, entonces sin(α+β)cos(α-β)= sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ.
= tanα+tanβ1+tanαtanβ= 31-3 =-32. Respuesta:-32.
4.Cos (α-π 6)+sin α = 453, entonces el valor de sin (α+7π 6) es _ _.
Análisis: De lo conocido 32cosα+12sinα+sinα = 453, es decir, 12cosα+32sinα = 45,
Sin (α+π 6) = 45, SIN (α+ 76 π) =-SIN (α+π 6) =-45. Respuesta: -45.
5. (Pregunta original) ¿Definir la operación A? B = A2-AB-B2, entonces senπ12? cosπ12=________.
Análisis: ¿senπ12? cosπ12 = sen 2π12-senπ12-cos 2π12 =-(cos 2π12-sen 2π12)-12×2.
6. Se sabe que α∈(π2,π), sen α 2+cos α 2 = 62.
(1) Encuentre el valor de cosα; (2) Si sen (α-β) =-35, β∈(π2, π), encuentre el valor de cosβ.
Solución: (1) Porque sen α 2+cos α 2 = 62, sen α = 12 cuando ambos lados están al cuadrado al mismo tiempo.
π 2
(2) Porque π 2
Sin (α-β) =-35, COS (α-β) = 45.
cosβ= cos[α-(α-β)]= cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=-32×45+12×(- 35)=-43+310.
Grupo b
1.cos2α1+sin2α? El valor de 1+tan α 1-tan α es _ _ _ _ _ _.
Análisis: COS2α 1+SIN2α? 1+tanα1-tanα= cos 2α-sin 2α(sinα+cosα)2?1+tanα1-tanα
=cosα-sinαsinα+cosα? 1+tanα1-tanα= 1-tanα1+tanα? 1+tanα1-tanα=1.
2.Cos (π 4+x) = 35, entonces el valor de sin2x-2sin2x1-tanx es _ _ _ _ _ _.
Análisis: ∫cos(π4+x)= 35, ∴ cosx-sinx = 352
∴1-sin2x=1825,sin2x=725,∴sin2x-2sin2x1-tanx= 2sinx(cosx-sinx)cosx-sinxcosx=sin2x=725.
3. Se sabe que cos (α+π 3) = sin (α-π 3), entonces tan α = _ _ _ _ _ _.
Análisis: cos(α+π3)= cosαcosπ3-sinαsinπ3 = 12 cosα-32 sinα, sin (α-π 3).
= sinαcosπ3-cosαsinπ3 = 12 sinα-32 cosα,
Se puede conocer a partir de: (12+32)sinα=(12+32)cosα, tan α = 1.
4. Supongamos α ∈ (π4, 3π4), β ∈ (0, π4), COS (α-π 4) = 35, SIN (3 π 4+β) = 513, entonces SIN ( α+β) = _ _ _.
Análisis: α ∈ (π 4, 3 π 4), α-π 4 ∈ (0, π 2), y cos (α-π 4) = 35, ∴ sin (α-π 4) ) = 45.
∵β∈(0,π4),∴3π4+β∈(3π4,π).∵sin(3π4+β)=513,∴cos(3π4+β)=-1213, p>
∴sin(α+β)=-cos[(α-π4)+(3π4+β)]
=-cos(α-π4)? cos(3π4+β)+sin(α-π4)? sin(3π4+β)=-35×(-1213)+45×513 = 5665,
Es decir, sin (α+β) = 5665.
5. Se sabe que cos α = 13, cos (α+β) =-13, α, β∈(0, π2), entonces el valor de cos (α-β) es igual a_ _ _ _ _ _.
Análisis: √α∈(0, π2), ∴2α∈(0, π). ∫cosα= 13, ∴ Cos2α = 2cos2α-1 =-79. ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(-79)×(-13)+429×223=2327.
6 Dado el ángulo α en el primer cuadrante, cosα= 35°, entonces 1+2 cos(2α-π4)sin(α+π2)= _ _ _ _ _ _.
Análisis: ∵ α está en el primer cuadrante, y COS α = 35, ∴ SIN α = 45, entonces 1+2 cos(2α-π4)sin(α+π2)= 1+2( 22 cos 2α+22 sin 2α)cosα=
7 Se sabe que a = (cos2α, sinα), b = (1, 2sinα-1), α∈(π2, π), si ¿a? B = 25, entonces el valor de tan (α+π 4) es _ _ _ _ _ _.
Análisis: ¿a? b = cos 2α+2 sin 2α-sinα= 1-2 sin 2α+2 sin 2α-sinα= 1-sinα= 25, ∴ sinα = 35, y α∈(π2, π), ∴ cosα =
8.El valor de tan 10 tan 70 tan 70-tan 1tan 120 es _ _ _ _.
Análisis: Tan(70-10)= Tan 70-Tan 10 1+Tan 70? tan10 =3,
Por lo tanto, sustituye tan 70-tan 10 = 3(1+tan 70 tan 10) en la expresión algebraica:
tan 70 tan 10 3(1+tan 70 tan 10)+tan 120 = tan 70 tan 10 3(1+tan 70 tan 10)-3 = tan 70 tan 10 3 tan 70 tan 10 = 33.
9. El lado terminal del ángulo dado α pasa por el punto A (-1, 15), el valor de sin (α+π 4) sin2α+cos2α+1 es igual a _ _ _ _ _ _.
Análisis: ∫sinα+cosα≠0, cos α =-14, ∴sin(α+π4)sin 2α+cos 2α+1 = 24 cosα=-2.
10. Evaluación: cos20 sin20? cos 13 sen 10 tan 70-2cos 40.
Solución: Fórmula original = cos 20 cos 10 sen 23 sen 10 sen 70 cos 70-2 cos 40.
= cos 20 cos 13 sen 10 cos 20 sen 20-2cos 40
= cos 20(cos 13 sen 10)sen 20-2cos 40
= 2cos 20(cos 10 sen 3sen 10 cos 30)sen 20-2cos 40
= 2 cos 20 sen 40-2 sen 20 cos 40 sen 20 = 2.
11. Dado el vector m = (2cosx2, 1), n = (sinx2, 1) (x ∈ r), supongamos que la función f (x) = m? n-1.
(1) Encuentre el rango de valores de la función f(x); (2) Los tres ángulos internos del ángulo agudo △ABC se llaman A, B y C respectivamente. Si f (a) = 513 y f (b) = 35, encuentre el valor de f(C).
Solución: (1) f(x) = m? n-1=(2cosx2,1)? (senx2, 1)-1 = 2 cos x2 sen x2+1-1 = senx.
∵x∈R, el rango de valores de la función ∴ f(x) es [-1, 1].
(2)∵f(a)=513,f(b)=35,∴sina=513,sinb=35.
∵A y b son ángulos agudos, ∴ cosa = 1-sen2a = 1213, COSB = 1-sen2b = 45.
∴f(c)=sinc=sin[π-(a+b)]=sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
= 513× 45+1213× 35 = 5665.∴ El valor de f (c) es 5665.
12. Conocido: 0
(1) Encuentre el valor de sin2β (2) Encuentre el valor de COS (α+π 4).
Solución: (1) Método 1: ∫cos(β-π4)= cosπ4 cosβ+sinπ4s inβ= 22 cosβ+22 sinβ= 13,
∴cosβ+sinβ=23 ,∴1+sin2β=29,∴sin2β=-79.
Método 2: sin 2β= cos(π2-2β)= 2 cos 2(β-π4)-1 =-79.
(2)∵0<α<π2<β<π,∴π4<β-π4<3π4,π2<α+β<3π2,∴ sin(β-π4)>0, porque (α+β)<0.
∵cos(β-π4)=13, sin(α+β)=45,∴sin( β-π4)=223,cos(α+β )=-35.
∴cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α +β)cos(β-π4)+sin( α+β)sin(β-π4)
=-35×13+45×223=82-315.
Sección 2 La suma y diferencia de funciones trigonométricas dos ángulos y ángulos dobles
un grupo
1. Si sen α = 35, α ∈ (-π2, π2), entonces COS (α+5π 4) = _ _ _ _ _ _ .
Análisis: Como α ∈ (-π2, π2) y sen α = 35, cos α = 45, se obtiene de la fórmula de suma y coseno diferencia de los dos ángulos: cos (α+5π4) = -22 (cosα-senα)=-210.
2. Conocido π