2. Preguntas
La cuarta pregunta del Concurso de Matemáticas de Beijing 1992 es "2. Las preguntas para completar en blanco para los estudiantes de primer grado son las siguientes:
4. Si sin2x cosx a=0 Si hay raíces reales, ¿cuál es el rango de valores del número real A?
La pregunta es corta y seca, con una puntuación completa de 8 puntos.
En tercer lugar, intenta resolver la ecuación.
El número de conocimiento de 1-a=0 ①
Si X en la ecuación original es real. raíces, entonces cosx tendrá un número real correspondiente, por lo que t= cosx, y la ecuación ① se convierte
t2-t-1-a=0 ②
Entonces la ecuación ② debería tener raíces reales raíces, entonces su discriminante △=(-1)2-4(-1-a)= 4a 5≥ 0, entonces a≥-(5/4).
Entonces el rango de valores del número real. A es a≥-(5/4).
¿Es esta la respuesta correcta?
Cuando a≥-(5/4), debe haber △≥0 y la ecuación. ② debe tener raíces reales. La pregunta es, si cosx=t tiene raíces reales, ¿X tiene raíces reales? Preste atención a la función coseno. El rango de valores de es cosx ∈ [-1, 1], entonces ② tiene raíces reales. no garantiza que cosx = t deba estar dentro de [-1, 1], lo que muestra que la solución anterior no es rigurosa. Los estudiantes que no piensan detenidamente pueden tener errores. Esta es una trampa oculta tendida por las preguntas del examen.
Cuarto, reflexión
¿Qué debemos hacer?
Si se puede garantizar la solución real de la ecuación ② en el intervalo [-1, 1]. , entonces la ecuación trigonométrica más simple cosx = t debe tener una solución en número real x = 2kπ arccost Bueno, el problema surge cuando la ecuación ② tiene un número real en [-1, 1]. ②:
Por lo tanto, cuando a ∈ [-(5/4), 1] ∨ [-(5/4), -1] = [-(5/4), 1], el original La ecuación tiene una raíz real alrededor de x.
El método anterior utiliza la fórmula de la raíz de la ecuación cuadrática, un grupo de desigualdad compuesto por dos desigualdades irracionales, Intersección y unión de conjuntos. ¿Es complicado?
Mejora del verbo (abreviatura de verbo)
Si el lado izquierdo de la ecuación ② es f( t), es decir
f( t)=t2-t-1-a
Entonces la ecuación ② tiene una solución real en [-1, 1], que es equivalente a una función cuadrática La parábola de f(t)=t2-t -1-a se cruza con el eje T en [-1, 1]. El número se convierte en una forma, y la forma ayuda
Cuando solo hay un punto de intersección entre la parábola y la T. -eje en [-1, 1], si y solo si
F(-1)f(1)≤0.
(1-a)(-1-a)≤0, la solución es -1≤A≤1; ③
Cuando la parábola y el eje T están en [- 1, 1] Si hay dos puntos de intersección en , si y sólo si .
Se puede ver en ③ ④ que cuando a ∈ [-1, 1]∨[-(5/4), 1] = [-(5/4),-1], y= f(t).
Por el cálculo de f(1), f(-1), δ, etc. Relativamente simple, ¿es más simple la solución anterior?
Sexto, mira el problema desde otro ángulo
El poema dice: "Mirando desde un lado de la cresta, los picos son diferentes en altura". No conozco la verdadera cara de la montaña Lushan, pero solo estoy en esta montaña. "Nuestro pensamiento anterior de resolución de problemas se centraba en 'las ecuaciones tienen raíces reales', y no podíamos sacar de la palma de la mano del Tathagata que 'las ecuaciones tienen raíces reales'. La solución en "Cinco" impregna la transformación de números y formas, y es una solución ingeniosa Si miramos el problema desde otro ángulo, podemos transformar los términos de la ecuación ① en:
a=cos2x-cosx-1
Piensa en A como. una función de X y piénselo a la inversa: Si el valor máximo A =(9/4)-(5/4)=1, entonces la función Por otro lado, cuando A toma un valor en [-(5/ 4), 1], cosx debe estar en [-1, 1], X debe tener una solución de número real correspondiente. Mira, ¿no se encuentra el rango de valores de A
7 variaciones
1989 Viaje al Oeste. El Sun Wukong en el libro tiene grandes poderes y puede cambiar. ¿Qué más se te ocurre a partir de las soluciones anteriores?
Casualmente, nueve años después, en el. Primer año del nuevo milenio, 2001, la última pregunta "Dos". La pregunta para completar en blanco para el concurso de matemáticas para estudiantes de primer año de secundaria de Beijing es la siguiente: "8. Si la ecuación sin2x sinx a=0 tiene una solución real, encuentre la suma de los valores máximo y mínimo. del número A"
Los lectores aprecian este punto, ¿sonreirán?
Ocho. Iluminación
Mirando hacia atrás en el proceso de resolución de problemas anterior, utilizamos la idea de ecuaciones, transformaciones equivalentes, combinación de números y formas, perspectivas cambiantes y pensamiento inverso. Los pensamientos dan sabiduría, la sabiduría produce soluciones inteligentes y las soluciones inteligentes son embriagadoras.