1. Definición de Matemática Financiera
La matemática financiera o finanzas matemáticas, o finanzas matemáticas, proviene de las finanzas matemáticas y puede entenderse como una disciplina que utiliza las matemáticas como herramienta para resolver problemas financieros. problemas. Las matemáticas financieras son una disciplina aplicada que establece modelos matemáticos adecuados para hechos específicos en la industria financiera, compila cierto software, simula resultados de investigaciones teóricas y realiza análisis econométricos e investigaciones sobre datos reales.
La característica más importante de las matemáticas financieras es la aplicación generalizada de herramientas matemáticas modernas, especialmente con la aplicación creativa de los resultados de la investigación en cibernética y procesos estocásticos en el campo financiero, las matemáticas financieras han formado una disciplina de vanguardia. También se le llama finanzas matemáticas a nivel internacional. Las matemáticas financieras se originaron a partir del estudio de los problemas financieros. Con el desarrollo de los mercados financieros, la relación entre las finanzas y las matemáticas se ha vuelto cada vez más estrecha y ha logrado un rápido desarrollo.
Las matemáticas financieras en un sentido amplio se refieren a una nueva disciplina que aplica teorías y métodos matemáticos para estudiar las reglas de funcionamiento de la economía financiera. En un sentido estricto, el principal contenido de investigación de las matemáticas financieras trata sobre la selección de carteras y la teoría de la fijación de precios de activos en condiciones inciertas de múltiples períodos, y el arbitraje, la optimización y el equilibrio son los tres conceptos más importantes de esta teoría.
Las matemáticas financieras se basan en algunos supuestos financieros o económicos y utilizan métodos matemáticos abstractos para establecer modelos matemáticos de mecanismos financieros. El alcance de las matemáticas financieras incluye diversas aplicaciones de conceptos y métodos matemáticos (u otros métodos de las ciencias naturales) en las finanzas, especialmente la teoría financiera. El propósito de la aplicación es utilizar métodos matemáticos para expresar, razonar y demostrar principios financieros. Las matemáticas financieras son una rama de las finanzas, por lo que las matemáticas financieras se basan primero en la teoría financiera. Esto no significa que las matemáticas financieras deban tener una formación académica formal en finanzas (esto es realmente beneficioso). Si bien las finanzas son independientes de ésta por sus características suficientes, se desarrolló como una rama aplicada de la economía, por lo que las matemáticas financieras también se basan en principios y técnicas económicas. Debido a que las finanzas están estrechamente relacionadas con los compañeros de clase, las matemáticas y la teoría fiscal, las matemáticas financieras deben basarse en principios contables, tecnología financiera, teoría y otros conocimientos.
La base teórica de las matemáticas financieras, por supuesto, también incluye la teoría matemática moderna y la teoría matemática. El primer paso es el modelado matemático o estadístico, que consiste en seleccionar factores clave de finanzas complejas, distinguir los factores relevantes de los irrelevantes y luego deducir varias relaciones a partir de una serie de supuestos y, finalmente, obtener una conclusión para explicar la conclusión. Este tipo de actividad de modelización no sólo es muy útil, sino también extremadamente importante, porque en finanzas, un pequeño error, una derivación errónea, una conclusión errónea o una interpretación errónea de una conclusión pueden conducir incluso a un desastre financiero. Además, la aplicación de la tecnología informática también juega un papel muy destacado en la investigación de las matemáticas financieras.
En resumen, las matemáticas financieras son una materia interdisciplinar de finanzas, matemáticas, estadística, economía e informática, y pertenece al nivel de las ciencias aplicadas. Las matemáticas financieras también son una materia cuantitativa y analítica de nivel superior después de la etapa de descripción cualitativa de las finanzas.
2. Desarrollo de la teoría matemática financiera moderna
1 Teoría del control óptimo estocástico
Un campo de aplicación más importante de la teoría financiera moderna es la resolución de problemas estocásticos y Un medio importante para resolver este problema es la teoría de control óptimo estocástico. El control óptimo estocástico es una etapa de desarrollo relativamente tardía en la teoría del control. La aplicación del principio de optimización de Berman, la teoría de la medida y los métodos de análisis funcional fueron contribuciones importantes realizadas por los matemáticos a este nuevo campo de la investigación matemática a finales de los años 1960 y principios de los 1970, y los economistas financieros los absorbieron rápidamente la teoría y los métodos de control óptimo estocástico. A principios de la década de 1970, aparecieron varios artículos económicos, incluido el análisis de Merton sobre las carteras de consumo e inversión utilizando métodos de tiempo continuo, y el análisis de Brock y Millman sobre el crecimiento económico óptimo en condiciones de incertidumbre utilizando métodos de tiempo discreto.
Desde entonces, el método de control óptimo estocástico se ha aplicado a la mayoría de los campos financieros, y académicos jóvenes y de mediana edad de mi país, representados por Peng Shige, también han hecho contribuciones destacadas a él.
2 Teoría de la martingala
El último resultado de la investigación de la teoría financiera moderna es la introducción de la teoría de la martingala. Suponiendo que F sea eficiente en los mercados financieros, el precio de un valor puede ser equivalente a un proceso estocástico de martingala. El método martingala defendido por Karatzas y Shreve introduce directamente la teoría de la martingala en la teoría financiera moderna y utiliza el concepto de medidas de martingala equivalentes para estudiar el problema de fijación de precios de los valores derivados. Los resultados obtenidos no sólo pueden revelar profundamente las reglas operativas de los mercados financieros, sino también proporcionar un algoritmo eficaz para resolver los problemas de precios y riesgo de productos financieros derivados complejos. Otro beneficio de utilizar la teoría de la martingala para estudiar la teoría financiera es que puede resolver mejor el problema de fijación de precios de los valores derivados cuando el mercado financiero está incompleto, lo que supone un gran avance en la teoría financiera moderna. Actualmente, la teoría de la valoración de los valores derivados basada en el método de la martingala ocupa una posición dominante en la teoría financiera moderna, pero todavía está en blanco en nuestro país.