Desde una perspectiva de clasificación, el siguiente problema es la clasificación de dominios de Siegel homogéneos. Xu Yichao convirtió este problema en un problema de teoría de matrices elementales. Primero, definió un conjunto de matrices reales y complejas (llamado conjunto de matrices normales) y utilizó estas matrices para introducir el campo de Siegel normal (campo de Siegel homogéneo en el espacio euclidiano complejo): Cj(z) y Qj(u) son todas las matrices cuadradas y están claramente definidas. Luego, demostró que cualquier campo de Siegel homogéneo es linealmente equivalente a un campo de Siegel regular, y existe equivalencia holomorfa entre campos de Siegel regulares si y sólo si los grupos de matrices normales que los definen son equivalentes entre sí bajo una relación especial. De esta manera, el problema de clasificación de dominios acotados homogéneos se reduce al problema de clasificación equivalente de grupos matriciales normales. En esta línea, dio una clasificación completa bajo el supuesto de que todas las matrices del grupo de matrices normales son matrices cuadradas. Estos resultados incluyen inesperadamente los resultados de Cartan sobre los espacios de simetría de Hermite, es decir, se encontraron expresiones específicas del dominio de esas dos excepciones. Los resultados de Xu Yichao antes mencionados se obtuvieron alrededor de 1965, pero debido al movimiento de las "Cuatro Limpiezas" y al movimiento de la "Revolución Cultural", no se publicaron hasta 1976.
El llamado espacio homogéneo es un módulo G del grupo de Lie conectado y un subgrupo cerrado especial H, donde G es un grupo de automorfismo en G/H, por lo que es un grupo holomórfico de dominios acotados muy homogéneos. importante. Por lo tanto, muchos matemáticos esperan encontrar grupos de automorfismos holomorfos y han trabajado mucho con este fin. Este problema fue resuelto de forma independiente por los matemáticos alemanes Dorfmaster y Xu Yichao en 1976. Debido a algunas caracterizaciones de los campos de Siegel homogéneos generales en el primero, es difícil estudiar más a fondo las propiedades específicas del grupo de automorfismos holomorfos.
Usando las expresiones específicas de los campos regulares de Siegel, Xu Yichao calculó su función del núcleo de Bergman, la métrica de Bergman, el núcleo de Cauchy-Segeg y el núcleo formal de Poisson, y demostró que el núcleo formal de Poisson es un complemento completo del campo de Poisson. núcleo. La condición necesaria es la simetría del campo de Siegel homogéneo. Además, también analizó el operador diferencial invariante de segundo orden de campos de Siegel homogéneos, demostró que el mapa de Bergman de campos de Siegel homogéneos es holomórfico y descubrió por qué no hay forma de utilizar la implementación de Vinberg de campos de Siegel homogéneos para discutir la teoría de funciones. sobre dominios acotados homogéneos.
La realización del dominio de Siegel homogéneo superalineado de Xu Yi ha promovido en gran medida la investigación sobre las propiedades funcionales y geométricas de los dominios acotados homogéneos, haciendo que la investigación sobre estos problemas sea computable. Demostró que el núcleo de Poisson en forma de un campo de Siegel homogéneo asimétrico no es un núcleo de Poisson, y luego propuso cómo establecer una teoría de función armónica en un campo de Siegel homogéneo asimétrico, es decir, estudiar las propiedades del espacio de solución de la ecuación de Laplace-Beltrami. Por otro lado, proporcionó un conjunto de bases estándar y tablas de multiplicar para álgebras de Lie de grupos de automorfismos holomorfos, proporcionando así buenas condiciones para estudiar dichas álgebras de Lie.
El trabajo de Xu Yichao es reconocido internacionalmente como el trabajo más importante en el campo de Siegel desde 1975. El famoso matemático francés J.L. Koszul comentó: "En mi opinión, el trabajo de Xu Yichao sobre conos convexos y campos de Siegel es la contribución más importante y fundamental a esta teoría desde 1975, y debería poder promoverla en muchas direcciones. Nuevo desarrollo. Aunque La estructura algebraica del cono normal requiere una mejor comprensión después de su introducción, como lo demuestra el destacado trabajo de Xu Yichao, una vez dominado, este método es una herramienta muy eficaz. Segundo Premio de Ciencias Naturales de 1987 de la Academia de Ciencias de China.
Vinberg y Titkin conjeturaron que la variedad de Keller homogénea es un haz de fibras holomorfas, el espacio base es un dominio acotado homogéneo y el espacio del haz es una variedad de Keller compacta y homogénea. El Maestro Dolf demostró esta conjetura. Basado en el trabajo del erudito japonés Nobuyuki Murakami, Xu Yichao dio una clasificación completa de las variedades de Keller bajo la transitividad de grupos de Lie reducidos.
También consideró la clasificación en dominios acotados con condiciones de Thullen en espacios euclidianos complejos bidimensionales. Runtu y H. Cartan dieron una clasificación completa de campos de Reinhardt, campos circulares y campos semicirculares. Xu Yichao y sus alumnos dieron una clasificación completa de campos semicirculares y campos circulares positivos (m, p), proporcionando muchos campos estándar significativos. Este método de construir el dominio estándar es muy útil para estudiar el dominio estándar bajo otras condiciones de Thuram y generalizarlo a múltiples variables complejas.
De 1958 a 1976, Xu Yichao llevó a cabo una variedad de diferentes tareas de aplicación matemática. En 1958, el Instituto de Matemáticas disolvió los grupos de álgebra, teoría de números y topología y estableció el grupo de operaciones. Participó en grupos de promoción de planificación lineal y participó en programación en transporte y distribución nacional de alimentos. Sobre esta base, Xu Yichao, Wang Yuan y otros escribieron "Teoría y aplicación de la programación lineal", publicado por Higher Education Press, con el número 1959. Este es el primer libro de China sobre programación lineal. En 1969, completó la tarea de cálculo de polinomios primitivos en el dominio de la característica 2; en 1976, completó la tarea de cálculo de predicción de poblaciones a pequeña escala. Estos trabajos han sido bien recibidos por los usuarios.
Desde 1986, Xu Yichao ha participado activamente en concursos de matemáticas de secundaria. Participó en la formación del primer equipo de entrenamiento de la Olimpiada de Matemáticas de China, seleccionó a 6 concursantes y logró buenos resultados en competencias internacionales de matemáticas. Desde 1992, ha participado en el Grupo de Propuestas de la Olimpiada de Matemáticas de China y ha participado en la selección de miembros del equipo de entrenamiento y representantes en el extranjero. Ha hecho su debida contribución al primer puesto del equipo chino en puntajes totales y una gran cantidad de medallas de oro en la competencia. Olimpiada Internacional de Matemáticas durante muchos años consecutivos y ha ganado muchos premios en honor a la patria. 65438-0998 fue contratado por el Comité Olímpico de la Sociedad Matemática China como entrenador nacional para la Olimpiada de Matemáticas.
Aunque las instituciones de investigación científica no tienen tareas docentes, Xu Yichao está muy preocupado por la educación matemática universitaria; enseñó álgebra avanzada a estudiantes universitarios en la Universidad de Ciencia y Tecnología de China en 1961 y 1963, en la Universidad de Nankai en 1986, Universidad de Tsinghua en 1989 y Universidad de Henan Nivel 2000. Entre ellos, el tiempo de enseñanza para los grados 61 y 63 del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Ciencia y Tecnología de China tiene una duración de 4 años. El contenido docente incluye geometría analítica plana y espacial, álgebra avanzada, álgebra lineal, álgebra abstracta, etc. . Posteriormente, recopiló las notas de la conferencia en "Introducción al álgebra", que fue publicado por Shanghai Science and Technology Press en 1966 bajo la recomendación del profesor Hua. Este libro es el primer libro de texto nacional que hace un uso completo de las herramientas matriciales para convertir problemas de espacio lineal en problemas algebraicos. El libro contiene una gran cantidad de preguntas difíciles y se ha convertido en un libro de referencia imprescindible para los estudiantes de posgrado después de la "Revolución Cultural" y ha influido en muchos libros de texto de álgebra avanzada publicados después de la "Revolución Cultural". En 1992, para satisfacer las nuevas necesidades, reorganizó algunos capítulos de "Introducción al álgebra" y los reescribió en un libro "Álgebra lineal y teoría de matrices", que fue publicado por Higher Education Press. Este libro ganó el primer premio del Premio Nacional de Libros de Texto Excelentes de 1996. Se puede decir que "Introducción al Álgebra", como libro de texto básico y libro de referencia para la enseñanza del álgebra lineal, ha influido plenamente en varias generaciones.
Xu Yichao es uno de los pocos matemáticos en China que está realmente familiarizado con los grupos de Lie. En 1983, coeditó el libro "Grupos de mentiras y álgebras de mentiras" con el profesor Yan Zhida en Higher Education Press, que ganó el segundo premio al Libro de Texto Excelente Nacional en 1990. En 2000, publicó Grupos de mentiras y espacios de simetría hermitiana en Science Press.
Ha impartido sucesivamente cursos de posgrado de Lie Qun en la Universidad de Pekín, la Universidad de Ciencia y Tecnología de China, la Escuela de Graduados de la Academia de Ciencias de China, la Universidad de Hangzhou, la Universidad de Zhengzhou, la Universidad de Zhejiang, la Universidad de Nankai y la Universidad de Henan, haciendo una contribución indeleble a la popularización de los temas de Lie Qun en China. Las conferencias de Xu Yichao tienen ideas claras, razonamiento exhaustivo, gran inspiración y un efecto docente sobresaliente, y son muy populares entre estudiantes y profesores de todo el mundo. En la conferencia prestó especial atención a explicar claramente cuál es la idea de la prueba y por qué piensa eso. Es bueno analizando el contenido del curso, centrándose en la formación básica, la esencia del curso y la aplicación de habilidades matemáticas, lo que puede sentar una base sólida para que los estudiantes participen en futuros trabajos de investigación.