Las partes comunes de la geometría euclidiana (también llamada geometría parabólica) y la geometría de Roche se conocen colectivamente como geometría absoluta. Por otro lado, el método axiomático se formó en el análisis estricto del sistema de axiomas de la geometría de Euclides. El sistema de axiomas estricto fue perfectamente establecido por el matemático alemán Hilbert en sus "Fundamentos de geometría". A menudo llamado sistema de axiomas de Hilbert, el sistema de axiomas de Hilbert es completo, es decir, se puede derivar una geometría euclidiana sistemática y rigurosa utilizando un razonamiento lógico puro. Sin embargo, resulta bastante tedioso deducir paso a paso los contenidos familiares de la geometría euclidiana según este sistema de axiomas.
Después del siglo XVI, debido al desarrollo de la producción y la ciencia y la tecnología, la astronomía, la mecánica, la navegación y otros aspectos han planteado nuevas demandas para la geometría.
Por ejemplo, el astrónomo alemán Kepler descubrió que los planetas orbitan alrededor del Sol a lo largo de una elipse con el Sol en un foco de la elipse; el científico italiano Galileo descubrió que el lanzamiento de objetos probaba el movimiento parabólico. Todos estos hallazgos involucran secciones cónicas. Para estudiar estas curvas complejas, el conjunto original de métodos obviamente ya no es aplicable, lo que condujo al surgimiento de la geometría analítica.
En 1637, el filósofo y matemático francés Descartes publicó el libro "Metodología". Hay tres apéndices al final de este libro, uno llamado óptica refractiva, otro llamado meteorología y otro llamado geometría. En ese momento, "geometría" en realidad se refería a las matemáticas, al igual que los significados de "aritmética" y "matemáticas" en la antigua China.
La Geometría de Descartes se divide en tres volúmenes. El primer volumen trata sobre cómo dibujar una regla; el segundo volumen trata sobre las propiedades de las curvas; el tercer volumen trata sobre cómo dibujar sólidos e "hipersólidos", que en realidad son preguntas algebraicas y analizan las propiedades de las raíces de las ecuaciones. Generaciones posteriores de matemáticos e historiadores de las matemáticas tomaron la geometría de Descartes como punto de partida de la geometría analítica.
Se puede ver en la "Geometría" de Descartes que la idea central de Descartes es establecer una matemática "universal" que unifique la aritmética, el álgebra y la geometría. Concibió que convertir cualquier problema matemático en un problema algebraico era reducir cualquier problema algebraico a resolver una ecuación.
Para hacer realidad la hipótesis anterior, Descartes señaló la relación correspondiente entre los puntos del plano y el par de números reales (x, y) del sistema de longitud y latitud de la astronomía y la geografía. Diferentes valores de xey pueden determinar muchos puntos diferentes en el plano, por lo que las propiedades de la curva se pueden estudiar algebraicamente.
Ésta es la idea básica de la geometría analítica. En concreto, la idea básica de la geometría analítica plana tiene dos puntos clave: primero, establecer un sistema de coordenadas en el plano, y las coordenadas de un punto corresponden a un conjunto de pares ordenados de números reales; segundo, después de establecer un sistema de coordenadas; en el plano, una línea en el plano La curva se puede representar mediante una ecuación algebraica de dos variables.
Se puede ver que la aplicación del método de coordenadas no solo puede resolver problemas geométricos a través de métodos algebraicos, sino que también conecta estrechamente conceptos importantes como variables, funciones, números y formas. El surgimiento de la geometría analítica no es accidental.
Antes de que Descartes escribiera geometría, muchos estudiosos utilizaban dos líneas rectas que se cruzaban como sistema de coordenadas para estudiar. Mientras estudiaba astronomía y geografía, alguien propuso que una ubicación se puede determinar utilizando dos "coordenadas" (longitud y latitud). Todos estos tuvieron una gran influencia en la creación de la geometría analítica.
En la historia de las matemáticas, se cree generalmente que el matemático aficionado francés Fermat, contemporáneo de Descartes, fue también uno de los fundadores de la geometría analítica y debería compartir el honor de la creación de esta disciplina. Fermat fue un erudito aficionado dedicado a la investigación matemática e hizo importantes contribuciones en teoría de números, geometría analítica, teoría de probabilidades, etc.
Es modesto y tranquilo y no tiene intención de publicar su "libro". Pero por su correspondencia sabemos que mucho antes de que Descartes publicara "Geometría", ya había escrito un breve artículo sobre geometría analítica y ya tenía la idea de la geometría analítica.
No fue hasta 1679, tras la muerte de Fermat, que sus pensamientos y escritos se publicaron en Cartas a un amigo. Como obra de geometría analítica, la "Geometría" de Descartes está incompleta, pero es importante introducir nuevas ideas y contribuir a abrir un nuevo campo de las matemáticas.
Contenidos básicos de la geometría analítica En geometría analítica lo primero es establecer un sistema de coordenadas. Como se muestra en la figura anterior, dos líneas rectas mutuamente perpendiculares en un plano con una determinada dirección y unidad de medida se denominan sistema de coordenadas rectangulares oxi.
Utilizando un sistema de coordenadas se puede establecer una relación uno a uno entre un punto del plano y un par de números reales (x, y). Además del sistema de coordenadas rectangulares, también existen sistemas de coordenadas oblicuas, coordenadas polares, sistemas de coordenadas espaciales rectangulares, etc.
En el sistema de coordenadas espaciales también existen coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas.
El sistema de coordenadas establece la estrecha relación entre objetos geométricos y números, relaciones geométricas y funciones, de modo que el estudio de formas espaciales puede simplificarse al estudio de relaciones cuantitativas relativamente maduras y fáciles de controlar.
Aprender geometría de esta manera a menudo se denomina método analítico. Este método de análisis es importante no sólo para la geometría analítica, sino también para el estudio de diversas ramas de la geometría.
El establecimiento de la geometría analítica introdujo una serie de nuevos conceptos matemáticos, especialmente la introducción de variables en las matemáticas, lo que llevó a las matemáticas a un nuevo período de desarrollo, que es el período de las matemáticas variables. La geometría analítica contribuyó al desarrollo de las matemáticas.
Engels comentó una vez: "El punto de inflexión en las matemáticas son las variables de Descartes. Con los cambios en los libros, el movimiento entró en las matemáticas; con las variables, la dialéctica entró en las matemáticas; con las variables, las sumas diferenciales. Las integrales inmediatamente se vuelven necesarias. “Las aplicaciones de la geometría analítica se dividen en geometría analítica de planos y geometría analítica del espacio. En geometría analítica plana, además de estudiar las propiedades de las líneas rectas, estudiamos principalmente las propiedades de las secciones cónicas (círculos, elipses, parábolas e hipérbolas).
En geometría analítica espacial, además de las propiedades de los planos y rectas, se estudian principalmente cilindros, conos y superficies de revolución. Algunas propiedades de elipses, hipérbolas y parábolas se utilizan ampliamente en la producción o en la vida.
Por ejemplo, la superficie reflectante de la bombilla de un proyector de películas es elíptica, con el filamento en un foco y la puerta de la película en otro foco; reflectores, focos, cocinas solares, antenas de radar, antenas de satélite; y los radiotelescopios se fabrican según el principio de parábola. En términos generales, la geometría analítica puede resolver dos problemas básicos utilizando el método de coordenadas: uno es establecer la trayectoria de un punto que cumple unas condiciones dadas y establecer su ecuación a través del sistema de coordenadas; el otro es estudiar las propiedades de la curva expresada por el; ecuación a través de la discusión de la ecuación.
Los pasos para utilizar el método de coordenadas para resolver problemas son: primero establecer un sistema de coordenadas en el plano y "traducir" las condiciones geométricas de la trayectoria del punto conocido a un sistema de ecuaciones algebraicas; herramientas para estudiar las ecuaciones; y finalmente utilizar la geometría. El lenguaje describe las propiedades de las ecuaciones algebraicas y obtiene respuestas a problemas geométricos originales. La idea del método de coordenadas impulsó a la gente a utilizar varios métodos algebraicos para resolver problemas geométricos.
Lo que antes se consideraban problemas difíciles en geometría, fracasan una vez que se utilizan métodos algebraicos.
La historia de las figuras geométricas La geometría más antigua es la geometría plana.
La geometría plana es el estudio de la estructura geométrica y las propiedades métricas (área, longitud, ángulo) de líneas rectas y curvas cuadráticas (es decir, secciones cónicas, es decir, elipses, hipérbolas y parábolas) en el plano. La geometría plana adopta métodos axiomáticos, lo cual es de gran importancia en la historia del pensamiento matemático.
El contenido de la geometría plana se traslada naturalmente a la geometría tridimensional del espacio tridimensional. Para calcular problemas de volumen y área, la gente ha comenzado a involucrar los conceptos originales del cálculo.
Después de que Descartes introdujo el sistema de coordenadas, la relación entre álgebra y geometría se volvió clara y cada vez más estrecha. Esto dio lugar a la geometría analítica.
La geometría analítica fue fundada de forma independiente por Descartes y Fermat. Este es otro evento histórico.
Desde la perspectiva de la geometría analítica, las propiedades de las figuras geométricas se pueden atribuir a las propiedades analíticas y a las propiedades algebraicas de las ecuaciones. Transformar la clasificación de figuras geométricas (como dividir secciones cónicas en tres categorías) en la clasificación de características algebraicas de ecuaciones, es decir, el problema de encontrar invariantes algebraicas.
La geometría sólida se reduce a la categoría de investigación de geometría analítica tridimensional, por lo que estudiar la clasificación geométrica de superficies cuadráticas (como esferas, elipsoides, conos, hiperboloides y superficies de silla de montar) se reduce a estudiar cuadráticas. superficies en álgebra. En términos generales, la geometría anterior se examina en el contexto de la estructura geométrica del espacio euclidiano, es decir, la estructura del espacio plano, y realmente no presta atención a la estructura geométrica del espacio curvo.
Los axiomas geométricos euclidianos describen esencialmente las características geométricas del espacio plano, especialmente el quinto postulado, lo que ha hecho que la gente dude de su exactitud. Como resultado, la gente empezó a prestar atención a la geometría de su espacio curvo, es decir, la "geometría no euclidiana".
La geometría no euclidiana incluye varios temas de geometría clásica, como "Geometría esférica", "Geometría de Roche", etc. Por otro lado, la gente empezó a pensar en la geometría proyectiva para llevar esos puntos esquivos del infinito al alcance de la observación.
En general, estas primeras geometrías no euclidianas estudiaban propiedades no métricas, que tenían poco que ver con la métrica y sólo se centraban en la posición de los objetos geométricos, como el paralelismo, la intersección, etc. El fondo espacial estudiado por estas geometrías es un espacio curvo.
La historia del desarrollo de la geometría analítica en el espacio - geometría analítica entre generaciones.
Vectores de grupos de problemas y sus operaciones
1. Verdadero o falso
(1) Si, entonces;
(2) Si, entonces;
(3);
(4);
(5);
(6).p>
2. Demuestre (1). (2).
(3).
3. Entorno,
(1) Prueba, coplanar. (2) Borde y descomposición. (3) Encuentre la proyección en.
4. Supongamos que todos son vectores distintos de cero, encuentre.
5. Asume,, y pregunta.
6. Supongamos que encuentra el ángulo entre y.
7. Como todos sabemos,
(1) Demuestre
(2) Cuando el ángulo entre y es qué valor, el área de es el valor máximo.
8. Utiliza vectores para demostrar que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto.
La segunda serie de preguntas: Planos espaciales y rectas
1 Supongamos que el plano pasa por el punto y es perpendicular al plano conocido y paralelo a la recta, y Encuentra la ecuación del avión.
2. Encuentra la ecuación del plano entre una recta y un punto.
3. Supongamos un plano, cuya línea de intersección es 0, y el volumen del tetraedro encerrado por tres planos coordenados es igual a 2, encuentre la ecuación de este plano.
4. Una recta pasa por un punto y corta a dos rectas Encuentra la ecuación de esta recta.
5. A través del plano: En el punto de intersección con la recta, encontrar la ecuación de la recta en el plano conocido y perpendicular a la recta conocida.
6. Encuentra un plano entre todos los planos que pasan por una recta que maximiza la distancia desde el origen hasta ella.
Superficies tridimensionales y curvas
1. Discuta la relación posicional entre planos y superficies curvas.
2. Suponga una curva espacial e intente expresar la ecuación de la curva mediante las ecuaciones de dos cilindros de proyección cuyas líneas de bus son paralelas al eje X y al eje Z.
3. Encuentra el área proyectada del cuerpo sólido encerrado por el cono y el cilindro en los tres planos coordenados.
4. Encuentra la ecuación de la superficie de revolución formada por la rotación de la recta alrededor del eje Z.
5. La directriz del cilindro es y el vector de dirección del autobús es. Encuentra la ecuación del cilindro.
¿La historia de la geometría? ¿Cómo te llamas? El origen de la palabra geometría proviene del griego "γ ε ω μ ε ρ ρ?α", que se compone de "γ?α" (tierra) y μ ε ρ ρ ε? "ν" (medición) es una combinación de dos palabras, que se refiere a la medición de la tierra, es decir, geodesia.
Más tarde, pasó a significar "geometria" en latín "geometría" china. El término "Elementos de Geometría" fue acuñado por primera vez por Xu Guangqi cuando Matteo Ricci y Xu Guangqi tradujeron conjuntamente "Elementos de Geometría" en la Dinastía Ming.
No se dio ninguna base en ese momento. Las generaciones posteriores creen que la geometría. puede ser el origen de la transliteración griega latina GEO, por otro lado, debido a que los elementos geométricos también usan el método geometria para explicar el contenido de la teoría de números, también puede ser una traducción libre de magnitud (cuánto), así lo es. Generalmente se cree que la geometría es una traducción simultánea de sonido y significado. La traducción de la geometría en "Elementos de geometría" publicada en 1607. No era popular en ese momento, había otra traducción llamada Metafísica, como ". Preparación de Metafísica" compilado por Zou, Zou, Liu Yongxi y otros, que también tuvo cierta influencia en la época.
Li He lo tradujo en 1857. Aunque el nombre geometría recibió cierta atención tras la publicación del últimos nueve volúmenes de Elementos, no fue hasta principios del siglo XX que hubo una tendencia clara a reemplazar el término metafísica, como se vio en la impresión de Metafísica Preparatoria en 1910. Hasta mediados del siglo XX, la palabra "metafísica" rara vez
Los primeros registros de geometría antigua en países extranjeros se remontan al antiguo Egipto, la antigua India y la antigua Babilonia, que comenzaron alrededor del año 3000 a.C. La geometría temprana era un principio empírico de longitud, ángulo, área y volumen utilizados para satisfacer necesidades prácticas en topografía, arquitectura, astronomía y diversos oficios.
Pythagore era conocido tanto en Egipto como en Babilonia. El teorema de Rath (teorema de Pitágoras) es 1.500 años antes que Pitágoras; Los egipcios tenían la fórmula correcta para el volumen de una pirámide cuadrangular; Babilonia tenía una tabla de funciones trigonométricas. La civilización china está tan desarrollada como la del mismo período, por lo que es posible que existieran matemáticas igualmente desarrolladas, pero no quedan restos de ella. esa época para confirmar esto.
Quizás esto se deba en parte al uso que hacían los primeros chinos de papel primitivo en lugar de tallas de arcilla o piedra para registrar sus logros. El desarrollo de la geometría tiene una larga historia y un rico contenido.
Estrechamente relacionado con el álgebra, el análisis, la teoría de números, etc. El pensamiento geométrico es el pensamiento más importante en matemáticas.
En la actualidad, el desarrollo de diversas ramas de las matemáticas tiende a ser geométrico, es decir, utilizar perspectivas geométricas y métodos de pensamiento para explorar diversas teorías matemáticas. Geometría plana y geometría sólida La geometría más antigua es la geometría plana.
La geometría plana es el estudio de la estructura geométrica y las propiedades métricas (área, longitud, ángulo) de líneas rectas y curvas cuadráticas (es decir, secciones cónicas, es decir, elipses, hipérbolas y parábolas) en el plano. La geometría plana adopta métodos axiomáticos, lo cual es de gran importancia en la historia del pensamiento matemático.
El contenido de la geometría plana se traslada naturalmente a la geometría tridimensional del espacio tridimensional. Para calcular problemas de volumen y área, la gente ha comenzado a involucrar los conceptos originales del cálculo.
Después de que Descartes introdujo el sistema de coordenadas, la relación entre álgebra y geometría se volvió clara y cada vez más estrecha. Esto dio lugar a la geometría analítica.
La geometría analítica fue fundada de forma independiente por Descartes y Fermat. Este es otro evento histórico.
Desde la perspectiva de la geometría analítica, las propiedades de las figuras geométricas se pueden atribuir a las propiedades analíticas y a las propiedades algebraicas de las ecuaciones. Transformar la clasificación de figuras geométricas (como dividir secciones cónicas en tres categorías) en la clasificación de características algebraicas de ecuaciones, es decir, el problema de encontrar invariantes algebraicas.
La geometría sólida se reduce a la categoría de investigación de geometría analítica tridimensional, por lo que estudiar la clasificación geométrica de superficies cuadráticas (como esferas, elipsoides, conos, hiperboloides y superficies de silla de montar) se reduce a estudiar cuadráticas. superficies en álgebra. En términos generales, la geometría anterior se examina en el contexto de la estructura geométrica del espacio euclidiano, es decir, la estructura del espacio plano, y realmente no presta atención a la estructura geométrica del espacio curvo.
Los axiomas geométricos euclidianos describen esencialmente las características geométricas del espacio plano, especialmente el quinto postulado, lo que ha hecho que la gente dude de su exactitud. Como resultado, la gente empezó a prestar atención a la geometría de su espacio curvo, es decir, la "geometría no euclidiana".
La geometría no euclidiana incluye varios temas de geometría clásica, como "Geometría esférica", "Geometría de Roche", etc. Por otro lado, la gente empezó a pensar en la geometría proyectiva para llevar esos puntos esquivos del infinito al alcance de la observación.
En general, estas primeras geometrías no euclidianas estudiaban propiedades no métricas, que tenían poco que ver con la métrica y sólo se centraban en la posición de los objetos geométricos, como el paralelismo, la intersección, etc. El fondo espacial estudiado por estas geometrías es un espacio curvo.
La formación de la geometría y el desarrollo de la geometría histórica han pasado a grandes rasgos por cuatro etapas básicas.
1. Geometría experimental La formación y desarrollo de la geometría se originó a partir de la observación de la forma y disposición de las estrellas en el cielo, y surgió de las necesidades de actividades prácticas como medir la tierra, medir el volumen, fabricar utensilios. y dibujar gráficos. Sobre la base de la observación, la práctica y la experimentación, la gente ha acumulado una rica experiencia geométrica y ha formado muchos conceptos aproximados, que reflejan la relación entre algunos hechos empíricos y la geometría experimental. La geometría estudiada en la antigua China, el antiguo Egipto, la antigua India y Babilonia era básicamente el contenido de la geometría experimental.
Por ejemplo, el teorema de Pitágoras, conocimiento de medición simple, se descubrió muy temprano en la antigua China. "Mo Jing" tiene "un (círculo), uno de los cuales tiene la misma longitud" y "plano (paralelo), uno de los cuales tiene la misma altura". Los antiguos indios creían que "el área de un círculo es igual al área de un rectángulo, la base de un rectángulo es igual a medio círculo y la altura de un rectángulo es mayor que el radio de un círculo. " 2. La formación y el desarrollo de la geometría teórica Con los intercambios comerciales y culturales entre el antiguo Egipto y Grecia, el conocimiento geométrico egipcio se introdujo gradualmente en la antigua Grecia.
Muchos matemáticos de la antigua Grecia, como Tales, Pitágoras, Platón y Euclides, hicieron grandes contribuciones al estudio de la geometría. En particular, Platón introdujo métodos de pensamiento lógico en la geometría y estableció definiciones detalladas y axiomas claros como base de la geometría. Luego, Euclides escribió los trece volúmenes de "Elementos de Geometría" basándose en los conocimientos de geometría de sus predecesores y de acuerdo con un estricto sistema lógico, sentando las bases de la geometría teórica (también conocida como geometría inductiva, geometría deductiva, geometría axiomática, geometría de Euclides). geometría, etcétera). ) y se convirtió en una obra maestra famosa de la historia.
Aunque "Elementos de Geometría" tiene algunos fallos, como axiomas incompletos y en ocasiones recurrir a la intuición. , es una obra maestra de las matemáticas antiguas, con una argumentación rigurosa y una influencia de gran alcance.
El método axiomático utilizado señaló la dirección del desarrollo futuro de las matemáticas e incluso se convirtió en un hito en la historia de la civilización humana y un tesoro en el patrimonio cultural de toda la humanidad. 3. El surgimiento y desarrollo de la geometría analítica En el siglo III d.C., la aparición de elementos geométricos sentó las bases de la geometría teórica.
Al mismo tiempo, la gente también investigó un poco sobre las secciones cónicas y descubrió muchas propiedades de las secciones cónicas. Pero durante mucho tiempo la teología ocupó una posición dominante en la sociedad feudal y la ciencia no recibió la atención que merecía.
No fue hasta los siglos XV y XVI d.C. cuando el capitalismo europeo comenzó a desarrollarse. Con las necesidades reales de producción, las ciencias naturales se desarrollaron rápidamente. El francés Descartes descubrió que la geometría euclidiana dependía demasiado de los gráficos, mientras que el álgebra tradicional estaba completamente dominada por fórmulas y leyes. Creen que el método tradicional de estudiar secciones cónicas solo se centra en la geometría e ignora el álgebra. Abogan firmemente por la combinación de geometría y álgebra para aprender de las fortalezas de cada uno. Esta es una nueva forma de promover el desarrollo de las matemáticas.
Bajo la guía de esta idea, Descartes propuso el concepto de un sistema de coordenadas plano, se dio cuenta de la correspondencia entre puntos y pares de números y utilizó una ecuación con tres espadas en ambos lados para representar secciones cónicas, formando una serie de nuevas teorías y métodos de los que surgió la geometría analítica. El surgimiento de la geometría analítica ha ampliado enormemente el contenido de investigación de la geometría y promovido su mayor desarrollo.
En los siglos XVIII y XIX, debido a las necesidades de la ingeniería, la mecánica y la geodesia, surgieron ramas como la geometría pictórica, la geometría proyectiva, la geometría afín y la geometría diferencial. 4. El surgimiento y desarrollo de la geometría moderna En el proceso de desarrollo de la geometría elemental y la geometría analítica, la gente continuó descubriendo que los elementos de la geometría no eran lo suficientemente rigurosos desde el punto de vista lógico y enriquecieron constantemente algunos axiomas, especialmente tratando de probar el quinto postulado ". una recta y las otras dos rectas se cortan. Cuando la suma de los ángulos interiores de un mismo lado es menor que dos ángulos rectos, dos rectas se cortan de este lado." El fracaso impulsó a la gente a reexaminar la base lógica de. geometría y progresé.
Por un lado, se parte de cambiar el sistema de axiomas de la geometría, es decir, sustituir el quinto postulado de la geometría euclidiana por una proposición que contradice el quinto postulado de la geometría, conduciendo así a un avance fundamental en el objeto de la investigación geométrica. El matemático ruso Lobachevsky reemplazó el quinto postulado por "En un mismo plano, dos rectas pueden ser paralelas a una recta conocida al pasar por un punto fuera de la recta", deduciendo así una serie de nuevas conclusiones, por ejemplo, "la suma". de los ángulos interiores de un triángulo es menor que dos ángulos rectos" y "no hay triángulos semejantes pero desiguales", que luego se llamó geometría de Roche (también conocida como geometría hiperbólica).
El matemático alemán Riemann sustituyó el quinto postulado desde otro ángulo: "En un mismo plano, no existe ninguna recta paralela a la recta conocida en ningún otro punto que no sea la recta", lo que también llevó a a Una serie de nuevas teorías, como "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que dos ángulos rectos", "la fórmula de que el área formada por un triángulo es igual a la de un triángulo esférico", etc., resultó en una geometría diferente, que más tarde se llamó Geometría Riemanniana (también conocida como geometría elíptica). Tradicionalmente, la gente se refiere a la geometría de Loche y a la geometría de Riemann como geometría no euclidiana.
Las partes comunes de la geometría euclidiana (también conocida como geometría parabólica) y la geometría de Roche se denominan colectivamente geometría absoluta. Por otro lado, el método axiomático se formó en el análisis estricto del sistema de axiomas de la geometría euclidiana, y este sistema axiomático estricto, a menudo llamado sistema de axiomas de Hilbert, fue desarrollado por el matemático alemán Hilber y quedó perfectamente establecido en sus Fundamentos. de Geometría. El sistema de axiomas de Hilbert es completo, es decir, el sistema estricto de la geometría euclidiana se puede derivar mediante razonamiento lógico puro.
Pero de acuerdo con este sistema de axiomas, es una tarea bastante tediosa deducir paso a paso los contenidos familiares de la geometría euclidiana.