Soluciones de ecuaciones cuadráticas
1. Puntos de conocimiento:
Las ecuaciones cuadráticas y las ecuaciones lineales son ecuaciones integrales y están relacionadas con las matemáticas de la escuela secundaria A. El contenido clave, que también es la base para el aprendizaje de matemáticas en el futuro, debería atraer la atención de los estudiantes.
La forma general de una ecuación cuadrática es: ax2 bx c=0, (a≠0), que contiene solo una incógnita, y el grado más alto de la incógnita es 2
Ecuación integral.
La idea básica de resolver una ecuación cuadrática de una variable es transformarla en dos ecuaciones lineales de una variable "reduciendo el grado". Hay cuatro soluciones a las ecuaciones cuadráticas
: 1. Método de raíz cuadrada directa; 2. Método de combinación 3. Método de fórmula 4. Método de factorización;
2. Explicación detallada de métodos y ejemplos:
1. Método de raíz cuadrada directa:
El método de raíz cuadrada directa es un método para resolver cuadráticas. ecuaciones de una variable usando raíz cuadrada directa. Utilice el método de raíz cuadrada directa para resolver la ecuación de la forma (x-m)2=n (n≥0)
La solución es x=m±
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación (1) (3x 1)2=7 (2) 9x2-24x 16=11
Análisis: (1) Esta ecuación es obviamente fácil de resolver usando el método de raíz cuadrada directa (2). El lado izquierdo de la ecuación es la fórmula cuadrada completa (3x-4)2, lado derecho = 11gt, por lo que
Esta ecuación también se puede resolver mediante el método de raíz cuadrada directa.
(1) Solución: (3x 1)2=7×
∴(3x 1)2=5
∴3x 1=±(Ten cuidado no Solución perdida)
∴x=
∴La solución de la ecuación original es x1=, x2=
(2) Solución: 9x2-24x 16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
Solución de la ecuación original Para x1=, x2=
2. Método de combinación: utiliza el método de combinación para resolver la ecuación ax2 bx c=0 (a≠0)
Primero mueve la constante c al lado derecho de la ecuación: ax2 bx=-c
Cambiar el término cuadrático El coeficiente pasa a ser 1: x2 x=-
Suma la mitad del cuadrado del coeficiente del término lineal a ambos lados de la ecuación: x2 x ( )2=- ( ) 2
El lado izquierdo de la ecuación se convierte en el método del cuadrado perfecto: (x )2=
Cuando b2-4ac≥0, x =±
∴x = (esta es la fórmula raíz)
Ejemplo 2． Usa el método compuesto para resolver la ecuación 3x2-4x-2=0
Solución: Mover el término constante al lado derecho de la ecuación 3x2-4x=2
Cambiar el coeficiente del término cuadrático a 1: x2 -x=
Suma la mitad del cuadrado del coeficiente lineal a ambos lados de la ecuación: x2-x ( )2= ( )2
Fórmula: (x-)2=
Raíz cuadrada directa: x-=±
∴x=
∴La solución de la ecuación original es x1= , x2= .
3 ． Método de fórmula: transforme la ecuación cuadrática a una forma general y luego calcule el valor del discriminante △ = b2-4ac Cuando b2-4ac≥0, calcule los valores de los coeficientes a, b y c de cada elemento.
Sustituye la fórmula de la raíz x=(b2-4ac≥0) para obtener la raíz de la ecuación.
Ejemplo 3. Usa el método de la fórmula para resolver la ecuación 2x2-8x=-5
Solución: Convierte la ecuación a una forma general: 2x2-8x 5=0
∴a=2, b =-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24gt
∴x= = =
∴Las soluciones de la ecuación original son x1=, x2=
4. Método de factorización: transforma la ecuación para que un lado sea cero, descompone el trinomio cuadrático del otro lado en el producto de dos factores lineales y deja que los dos factores lineales sean iguales a cero respectivamente. Se obtienen ecuaciones de una variable. Las raíces obtenidas al resolver estas dos ecuaciones lineales de una variable son las dos raíces de la ecuación original.
Este método de resolver ecuaciones cuadráticas se llama factorización.
Ejemplo 4. Resuelve las siguientes ecuaciones usando factorización:
(1) (x 3)(x-6)=-8 (2) 2x2 3x=0
(3) 6x2 5x -50 =0 (opcional) (4)x2-2( )x 4=0 (opcional)
(1) Solución: (x 3)(x-6)=-8 Simplificar Ordenado
x2-3x-10=0 (el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrático y el lado derecho es cero)
(x-5)(x 2)=0 (la ecuación Factoriza el lado izquierdo)
∴x-5=0 o x 2=0 (convertido en dos ecuaciones lineales de una variable)
∴x1=5, x2=-2 es la solución original de la ecuación.
(2) Solución: 2x2 3x=0
x(2x 3)=0 (Usa el método del factor común para factorizar el lado izquierdo de la ecuación)
∴x=0 o 2x 3=0 (convertido en dos ecuaciones lineales de una variable)
∴x1=0, x2=- es la solución de la ecuación original.
Nota: Algunos estudiantes tienden a perder la solución x=0 al hacer este tipo de preguntas. Debes recordar que hay dos soluciones para la ecuación cuadrática.
(3) Solución: 6x2 5x-50=0
(2x-5)(3x 10)=0 (Preste especial atención a los signos al factorizar por multiplicación cruzada para que para no cometer errores )
∴2x-5=0 o 3x 10=0
∴x1=, x2=- es la solución de la ecuación original.
Solución a (4): x2-2( )x 4 =0 (∵4 se puede descomponer en 2·2, ∴Esta pregunta se puede factorizar)
(x- 2)(x-2 )=0
∴x1=2 , x2=2 es la solución de la ecuación original.
Resumen:
Para resolver en general una ecuación cuadrática de una variable, el método más utilizado es el método de factorización. Al aplicar el método de factorización, primero se debe escribir la ecuación en general.
En la forma de p>
, el coeficiente del término cuadrático debe convertirse en un número positivo.
El método de apertura directa es el método más básico.
El método de fórmula y el método de combinación son los métodos más importantes. El método de la fórmula es aplicable a cualquier ecuación cuadrática de una variable (algunos lo llaman método universal). Cuando se utiliza el método de la fórmula, la ecuación original debe transformarse a una forma general para poder determinar la ecuación. coeficientes, y antes de usar la fórmula, primero debes calcular el valor del discriminante para determinar si la ecuación
tiene solución.
El método de combinación es una herramienta para derivar fórmulas. Después de dominar el método de fórmula, puede usar directamente el método de fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable, por lo que generalmente no es necesario usar el método de combinación <. /p>
Resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Sin embargo, el método de coincidencia se usa ampliamente para aprender otros conocimientos matemáticos. Es uno de los tres métodos matemáticos importantes que se deben dominar en las escuelas secundarias.
Debe dominarse bien. (Tres métodos matemáticos importantes: método de sustitución, método de combinación y método de coeficiente indeterminado).
Ejemplo 5. Resuelva las siguientes ecuaciones usando los métodos apropiados.
(Opcional)
(1)4(x 2)2-9(x-3)2=0 (2)x2 (2-)x -3=0
( 3) x2-2 x=- (4) 4x2-4mx-10x m2 5m 6=0
Análisis: (1) En primer lugar se debe observar si la pregunta tiene alguna característica, y no Primero haz la multiplicación a ciegas. Después de la observación, encontramos que el lado izquierdo de la ecuación se puede factorizar usando la fórmula de diferencia de cuadrados
y convertirlo en el producto de dos factores lineales.
(2) El método de multiplicación cruzada se puede utilizar para factorizar el lado izquierdo de la ecuación.
(3) Después de convertirlo a una forma general, use el método de fórmula para resolverlo.
(4) Transforma la ecuación en 4x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0, y luego usa el método de multiplicación cruzada para factorizar.
(1) Solución: 4(x 2)2-9(x-3)2=0
[2(x 2) 3(x-3)][2 (x 2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x 13)=0
5x-5=0 o -x 13= 0
∴x1=1, x2=13
(2) Solución: x2 (2- )x -3=0
[x-(- 3)](x-1)=0
x-(-3)=0 o x-1=0
∴x1=-3, x2=1
(3) Solución: x2-2 x=-
x2-2 x =0 (primero convertir a forma general)
△=(-2 )2- 4 ×=12-8=4gt; 0
∴x=
∴x1=, x2=
(4) Solución: 4x2-4mx-10x m2 5m 6=0
4x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0
[2x-(m 2)][2x-(m 3 )]=0
2x-(m 2)=0 o 2x-(m 3)=0
∴x1= , x2=
Ejemplo 6． Encuentra las dos raíces de la ecuación 3(x 1)2 5(x 1)(x-4) 2(x-4)2=0. (Opcional)
Análisis: si haces exponenciación, multiplicación y fusionas términos similares en una forma general antes de hacer esta ecuación, será más engorroso. Observa la pregunta con atención,
Solución : [3(x 1) 2(x-4)][(x 1) (x-4)]=0
Es decir (5x-5)(2x-3)=0 < / p>
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1 = 0 o 2x-3=0
∴x1=1, x2= es la solución de la ecuación original.
Ejemplo 7. Utilice el método de combinación para resolver la ecuación cuadrática x2 px q=0 sobre x
Solución: x2 px q=0 se puede transformar en
x2 px=-q (el término constante se mueve al lado derecho de la ecuación)
x2 px ( )2=-q ()2 (Suma la mitad del cuadrado del coeficiente del término lineal a ambos lados de la ecuación)
(x )2= (fórmula)
Cuando p2-4q≥0, ≥0 (p2-4q debe clasificarse y discutirse)
∴x=- ± =
∴x1= , x2=
Cuando p2-4qlt;0, lt;0, la ecuación original no tiene raíces reales.
Nota: Esta pregunta es una ecuación que contiene coeficientes de letras. No hay condiciones adicionales para p y q en la pregunta. Por lo tanto, durante el proceso de resolución del problema, siempre debes prestar atención a los requisitos. los valores de las letras
Realizar discusiones clasificadas cuando sea necesario.
Ejercicio:
(1) Utiliza métodos apropiados para resolver las siguientes ecuaciones:
1 6x2-x-2=0 2. (x 5) ( x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x 4=0
5. ( 2x 3)-6=0
(2) Resuelve las siguientes ecuaciones sobre x
1.x2-ax -b2=0 2. x2-( )ax a2=0
Respuestas del ejercicio de referencia:
(1) 1.x1=-, x2= 2.x1=2, x2=-2
3.x1= 0 , x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6. Solución: (Considere 2x 3 como un todo y factorice el lado izquierdo de la ecuación)
[(2x 3) 6][(2x 3)-1]=0
Es decir (2x 9)(2x 2)=0
∴2x 9=0 o 2x 2 =0
∴x1=-, x2=-1 es la solución de la ecuación original.
(2)1. Solución: x2-ax ( b)( -b)=0 2. Solución: x2-( )ax a· a=0
[x-( b)] [x-( -b)] =0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( b)=0 o x-( -b) =0 x- a=0 o x-a=0
∴x1= b, x2= -b es ∴x1= a, x2=a es
la solución de la ecuación original. solución de la ecuación original.
Test
Preguntas de opción múltiple
1. La raíz de la ecuación x(x-5)=5(x-5) es ( )
A, x=5 B, x=-5 C, x1=x2=5 D, x1= x2= -5
2． El valor del polinomio a2 4a-10 es igual a 11, entonces el valor de a es ( ).
A, 3 o 7 B, -3 o 7 C, 3 o -7 D, -3 o -7
3. Si la suma del coeficiente del término cuadrático, el coeficiente del término lineal y el término constante en la ecuación cuadrática ax2 bx c=0 es igual a cero, entonces la ecuación debe tener una raíz ( ).
A, 0 B, 1 C, -1 D, ±1
4. La condición de que la ecuación cuadrática ax2 bx c=0 tenga una raíz cero es ( ).
A, b≠0 y c=0 B, b=0 y c≠0
C, b=0 y c=0 D, c=0
5. Las dos raíces de la ecuación x2-3x=10 son ( ).
A, -2, 5 B, 2, -5 C, 2, 5 D, -2, -5
6. La solución de la ecuación x2-3x 3=0 es ( ).
A, B, C, D, sin raíces reales
7. La solución a la ecuación 2x2-0.15=0 es ( ).
A, x= B, x=-
C, x1=0.27, x2=-0.27 D. x1=, x2=-
8. Después de organizar el lado izquierdo de la ecuación x2-x-4=0 en un cuadrado perfecto, la ecuación resultante es ( ).
A. (x-)2= B. (x- )2=-
C. (x- )2= D. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta
9. Se sabe que la ecuación cuadrática de una variable x2-2x-m = 0, y la ecuación después de resolverla usando el método de fórmula es ().
A. (x-1)2=m2 1 B. (x-1)2=m-1 C. (x-1)2=1-m D. (x-1)2 =m 1
Respuesta y análisis
Respuesta: 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
Análisis:
1. Análisis: Transfiera los términos para obtener: (x-5)2=0, luego x1=x2=5,
Nota: No divida fácilmente ambos lados de la ecuación por un número entero. La ecuación cuadrática tiene raíces reales, por lo que debe ser dos.
2. Análisis: Según la pregunta: a2 4a-10=11, la solución es a=3 o a=-7
3. Análisis: Según el significado de la pregunta: hay a b c = 0, el lado izquierdo de la ecuación es a b c, y cuando x = 1, ax2 bx c = a b c, lo que significa que cuando x = 1
, se establece la ecuación, entonces debe tener una raíz x=1.
4． Análisis: Si una raíz de la ecuación cuadrática ax2 bx c=0 es cero,
entonces ax2 bx c debe tener un factor x. Entonces, si y solo cuando c=0, hay un factor común x. entonces c=0
Además, también puedes sustituir x=0 para obtener c=0, ¡lo cual es más simple!
5． Análisis: La ecuación original se convierte en x2-3x-10=0,
Entonces (x-5)(x 2)=0
x-5=0 o x 2=0
x1=5, x2=-2
6. Análisis: Δ=9-4×3=-3lt 0, entonces la ecuación original no tiene raíces reales.
7. Análisis: 2x2=0.15
x2=
x=±
Presta atención a la simplificación de la expresión radical, y ten cuidado de no perder la raíz cuando sacando la raíz cuadrada directamente.
8． Análisis: multiplique ambos lados por 3 para obtener: x2-3x-12=0, y luego de acuerdo con la fórmula del coeficiente del término lineal, x2-3x (-)2=12 (- )2,
Organizar es: (x- )2=
La ecuación se puede deformar usando la propiedad de igualdad, y cuando se formula x2-bx, el término de la fórmula es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal -b.
9． Análisis: x2-2x=m, luego x2-2x 1=m 1
Entonces (x-1)2=m 1.
Análisis del examen de ingreso a la escuela secundaria
Análisis de las preguntas del test
1. (Provincia de Gansu) La raíz de la ecuación es ( )
(A) (B) (C) o (D) o
Comentario: Debido a que la ecuación cuadrática de una variable tiene dos raíces, así que use el método de eliminación para eliminar las opciones A y B, y luego use el método de verificación para seleccionar la opción correcta entre las opciones C y D.
También puedes usar el método de factorización para resolver esta ecuación y obtener el resultado. También puedes verificar las opciones. Las opciones A y B solo consideran un aspecto y se olvidan de una variable.
La ecuación cuadrática tiene dos raíces, por lo que es incorrecta. En la opción D, x=-1 no forma los lados izquierdo y derecho de la. ecuación es igual, por lo que también es incorrecta. La opción correcta es
C.
Además, los estudiantes suelen dividir ambos lados de la ecuación por un número entero al mismo tiempo, lo que hace que la ecuación pierda raíces. Este error debe evitarse.
2. (Provincia de Jilin) La raíz de una ecuación cuadrática de una variable es __________.
Comentario: La idea es utilizar el método de factorización o el método de fórmulas para resolverla según las características de la ecuación.
3. (Provincia de Liaoning) La raíz de la ecuación es ( )
(A) 0 (B) –1 (C) 0, –1 (D) 0, 1
Análisis: Idea: Debido a que la ecuación es una ecuación cuadrática, tiene dos raíces reales Usando el método de eliminación y el método de verificación, la opción correcta se puede seleccionar como C, mientras que las dos opciones A y
B tienen solo una. raíz. Opción D Un número no es la raíz de una ecuación. Alternativamente, puedes usar el método de encontrar directamente las raíces de la ecuación.
4． (Provincia de Henan) Se sabe que una raíz de la ecuación cuadrática de x es –2, entonces k=__________.
Comentario y análisis: k=4. Sustituyendo x=-2 en la ecuación original, construye una ecuación cuadrática sobre k y luego resuélvela.
5． (Ciudad de Xi'an) Usando el método de raíz cuadrada directa para resolver la ecuación (x-3)2=8, la raíz de la ecuación es ( )
(A) x=3 2 (B) x=3-2
(C) x1=3 2, x2=3-2 (D) x1=3 2, x2=3-2
Comentario: Solo resuélvelo directamente resolviendo ecuaciones, es decir, no es necesario calcular. Si hay una solución para la ecuación cuadrática de una variable, debe haber dos soluciones y la raíz cuadrada de 8
La respuesta puede ser. seleccionado.
Expansión extracurricular
Ecuación cuadrática de una variable
Una ecuación cuadrática de una variable se refiere a una ecuación cuadrática que contiene un número desconocido y el término de mayor grado de el número desconocido son ecuaciones integrales de grado 2
. La forma general es
ax2 bx c=0, (a≠0)
Alrededor del año 2000 a.C., aparecieron ecuaciones cuadráticas y sus soluciones en la antigua arcilla babilónica. En el libro de cartón: Encuentra un número tal que la suma de su recíproco
sea igual a un número dado, es decir, encontrar tal x y tal que
x=1, x =b,
x2-bx 1=0,
Hacen ( )2; luego lo hacen y luego obtienen la solución: y -. Se puede ver que los babilonios ya conocían la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación cuadrática. Pero en ese momento no aceptaron números negativos, por lo que se omitieron las raíces negativas.
Los documentos en papiro egipcio también involucran la ecuación cuadrática más simple, por ejemplo: ax2=b.
En los siglos IV y V a.C., nuestro país dominaba la fórmula para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas de una variable.
El griego Diofanto (246-330) solo tomó una raíz positiva de la ecuación cuadrática. Incluso si hubiera dos raíces positivas, solo tomó una de ellas.
una.
En el año 628 d.C., a partir del "Sistema de Corrección Brahma" escrito por Brahmagupta de la India, se obtuvo una fórmula raíz para la ecuación cuadrática x2 px q=0.
En Arabia Al. "Álgebra" de Al-Khwarizmi analiza la solución de ecuaciones y resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas, que involucran seis formas diferentes. Sean a, byc números positivos, como ax2=bx, ax2=c, ax2 c=bx. , ax2 bx=c, ax2=bx c, etc. Dividir la ecuación cuadrática en
diferentes formas para su discusión sigue el enfoque de Diofanto. Alabama. Además de dar varias soluciones especiales a ecuaciones cuadráticas, Al-Khwarizmi también dio por primera vez una solución general a ecuaciones cuadráticas, admitiendo que la ecuación tiene dos raíces y que hay raíces irracionales. Pero no se comprenden las raíces virtuales. En el siglo XVI, los matemáticos italianos empezaron a utilizar raíces complejas para resolver ecuaciones cúbicas.
Veda (1540-1603), además de saber que las ecuaciones de una variable siempre tienen soluciones en el rango de los números complejos, también dio la relación entre raíces y coeficientes.
Los "Nueve Capítulos de la Aritmética" de mi país. El problema 20 del capítulo "pitagórico" se resuelve encontrando la raíz positiva equivalente a x2 34x-71000=0. Los matemáticos chinos también utilizaron métodos de interpolación en el estudio de ecuaciones.