Dos. 1. X→∞lim xsin(1/X)= X→∞lim[sin(1/X)/(1/X)= X→∞lim(1/X)/(1/X)Ninguno
Asíntota vertical;
2. Área=πa? ;
3.
4. a =π/2; x ' = 1-coste; y ' o = 1; z ' o =√2; 2-1; yo = 1; zo = 2√2; entonces la ecuación tangente es: (x-π/2+1)/1 = (y-1)/1 = (z-2√2)/√ 2 ;
La ecuación normal es: (x-π/2+`)+(y-1)+(√2)(z-2√2)= 0.
5. ¿El orden de los puntos de intercambio es 0, 1 ∫ dxx? ,x∫f(x,y)dy
6. AB=(1,-6,3), entonces la ecuación plana es (x-2)-6(y+1)+3(z-2)=0, es decir, x-6y+3z-14=0 es la demanda.
7. Una solución especial es y * = (1/2) (e x) cos2x.
Tres. Cálculo:
1. x→∞lim[ln(1-1/x)/(arctanx-π/2)]= x→∞lim[1/x(x-1)]/[1/(1+x?)]=x →∞lim[(1+x?)/(x?-x)]
=x→∞lim[[(1/x?+1)/(1-1/x)]= 1
2. x→0, y→0lim{(x?+y?)/[√(x?+y?+1)-1]}=x→0, y→0lim{(x?+y?)[√( x? +y? +1)+1]/(x?+y?)}
=x→0, y→0lim[√(x?+y?+1)+1]= 2;
3. 0,ln2∫√(e^x-1)dx; Supongamos que e x-1 = u? , entonces (e x) dx = 2udu, dx=2udu/(1+u?);
u = 0 cuando x=0; U=1 cuando x=ln2.
Por lo tanto, 0, LN2 ∫√ (E X-1) dx = 0, 12∫u? Du/(1+u?)=0,12∫[1-1/(1+u?)]Du
=2[u-arctanu]0,1=2(1-π/ 4)2-π/2.
4. -∞，+∞∫[1/(9+x?)]dx=(1/3)arctan(x/3)-∞，+∞=(1/3)(π/2+π/2)= π/3
5, z=f(x?-¿En serio?,e^(xy)); Supongamos que u=x? -¿Sí? ;v=e^(xy);
¿Y luego qué? z/? x=(?f/?u)(?u/?x)+(?f/?v)(?v/?x)=2x(?f/?u)+ye^(xy)(?f/ 5)
z/? y=(?f/?u)(?u/?y)+(?f/?v)(?v/?y)=-2y(?f/?u)+xe^(xy)(?f /? Cinco)
6. x=te^t;y=t? E t, entonces dy/dx = y ' =(dy/dt)/(dx/dt)=(2te t+t?e^t)/(e^t+te^t)=(2t+t?) /(1+t)
Entonces d? y/dx? =(dy '/dt)/(dx/dt)= {[(1+t)(2+2t)-(2t+t?)]/(1+t)? }/(e^t+te^t)=(t?+2t+2)/[(1+t)? e^t]
Cuatro. ¿Encontrar la parábola y=-x? El área gráfica delimitada por la recta tangente de +4x-3 y sus puntos (0,-3) y (3,0).
Solución: y ' =-2x+4; y '(0)= 4; y'(3)=-2
Entonces pasa M(0,-3) La ecuación de la recta tangente es y = 4x-3; la ecuación de la recta tangente que pasa por n (3, 0) es y =-2(x-3)=-2x+6;
Supongamos que 4x-3=-2x+ 6, obtenemos 6x=9, entonces x = 9/6 = 3/2 Y=-3+6=3, es decir, las coordenadas del punto de intersección Q de las dos rectas tangentes; son (3/2, 3);
Supongamos que el punto de intersección de la recta tangente MQ y la -¿El área s encerrada por la parábola y el eje x? + ¿Parábola y tangente MQ y rodeadas por el área del eje X? .
s? =(1/2)×(3-3/4)×3=27/8
s? =1,3∫(-x?+4x-3)dx=[-x? /3+2x? -3x]1,3 =(-9+18-9)-(-1/3+2-3)= 4/3
s? =0,1∣∫(-x?+4x-3)dx∣-(1/2)×(3/4)×3=∣-x? /3+2x? -3x∣0,1-9/8=4/3-9/8=5/24
Entonces área s = 27/8-4/3+5/24 =(81-32+ 5)/24 = 54/24 = 9/4.
Cinco. Encuentre la expansión de Taylor de la función f(x)=1/x en el punto xo=2 y encuentre su región de convergencia.
Solución: f(2)= 1/2; f'(x)=-1/x? ,f'(2)=-1! /2?;f''(x)=2! /¿incógnita? ,f(2)=2! /2?;
f ' ' ' '(x)=-3! /¿incógnita? , f ' ' ' '(2)=-3! /2?;.........;f? (x)=(-1)? ¡norte! /¿incógnita? ,¿F? (2)=(-1)?n! /2?;
¿Entonces la expansión es 1/x=1/2-(1/2?)(x-2)+(1/2?)(x-2)? -(1/2?)(x-2)? +......+[(-1)?/2?](x-2)? +.......
n→∞lim∣R? ¿norte? (x)∣=n→∞lim∣(x-2)∣? /2?& ltn→∞lim[∣x-2∣/2]?
De ∣ x-2 ∣/2 < 1, obtenemos -2
Seis. Calcule c ∮ [(e x) cosy+2y] dx-[(e x) siny] dy, donde c es el perímetro negativo del jardín x. +y? =un? .
Solución: ∮[(e x)cosy+2y]dx-[(e x)siny]dy = d-∫∫[(-e x)siny+(e x)siny-2]dxdy.
=D4∫∫dxdy=-a, a4∫dy-√(a?-¿Sí?),√(a?-¿Sí?)∫dx
=- a, a8∫√(a?-¿Sí?)dy=[(y/2)√(a?-¿Sí?)+(a?/2)arcsin(y/a)]-a,a
=(a?/2)arcosen1-(a?/2)arcoseno(-1)=πa? /2
Siete. Cálculo:
1. D∫∫arctan(y/x)dxdy, donde d: 1 ≦ x? +y? ≦4, x≧0, y≧0.
Solución: En coordenadas polares: 1≦r? ≦4, entonces 1≦r≦2; 0≦θ≦π/2
D∫ arcotangente (y/x)dxdy=0, π/2∫dθ1, 2∫arctangente (sinθ/ cosθ) rdr
=0, π/2∫dθ1, 2∫arctan(tanθ)rdr=0, π/2∫dθ1, 2∫rdr
=0, π/ 2∫ θdθ(r?/2)1,2=0,π/2(3/2)∫θdθ=(3/2)(θ?/2)0,π/2
= (3 /2)(π?/8)=3π?/16
2.
¿Encontrar la esfera x? +y? +z? =un? El área de la superficie curva intercalada entre los planos z=a/2 y z=a/4.
Solución: Área de la superficie sujeta = 2πa(a/2-a/4)=πa? /2
Ocho. ¿Esto es para demostrar que el área de la lona S = πR? +2πRH+2πR√(R?+h?)=πR[R+H+2√(R?+h?)] se satisface cuando el volumen de la tienda V=πR? H+(1/3)πR? h=(H+h/3)πR? Al encontrar el valor mínimo bajo la condición de =k, se deben cumplir las condiciones R=(√5)H y h=2H.
Demostración: S=πR[R+H+2√(R?+h?)]; condición adicional φ(R, H, h)=(H+h/3)πR? -k=0
¿Haciendo la función F(R, h, h) = πR? +2πRH+2πR√(R?+h?)+λ[(H+h/3)πR? -k]
F/? R=2πR+2πH+2π√(R?+h?)+2πR? /√(R?+h?)+2πRλ[(H+h/3)=0
Es decir, R+H+√(R?+h?)+R? /√(R?+h?)+Rλ(H+h/3)=0.............(1)
F/? H=2πR+πR? λ=0, es decir, 2+Rλ=0, entonces λ=-2/R............(2).
F/? h=h/√(R?+h?)+Rh/√(R?+h?)+(1/3)Rλ=0
Es decir, 3h+3Rh+Rλ√(R ?+ h )=0............(3)
(H+h/3)πR? -k=0............(4)
La prueba se puede obtener resolviendo cuatro ecuaciones simultáneamente. Hay un problema con mi computadora. El efecto no es bueno. Puedes resolverlo tú mismo.