Esta es una de varias conjeturas propuestas por el gran matemático alemán Riemann en 1859, y las demás conjeturas han sido demostradas. Esta conjetura se refiere a la función de Riemann:
Los ceros no triviales están todos en línea recta.
En matemáticas encontramos muchas funciones, las más comunes son los polinomios y las funciones trigonométricas. Los ceros de un polinomio son las raíces de la ecuación algebraica =0. Según el teorema fundamental del álgebra, una ecuación algebraica de grado n tiene n raíces, que pueden ser raíces reales o raíces complejas. Por tanto, la función polinómica tiene dos representaciones, a saber, cuando s es un número real mayor que 1, es una serie infinita convergente. Euler la modela como un producto, que es un producto infinito, y no. en forma de cero:
Sin embargo, esto no es muy útil. Riemann lo extendió a todo el plano complejo, convirtiendo la variable compleja S en una que contiene mucha información. Como ocurre con los polinomios, la mayor parte de la información sobre una función está contenida en la información sobre sus ceros, por lo que los ceros de la función se convierten en una máxima prioridad. Hay dos tipos de cero, uno es el cero real cuando s=-2,-4,...-2n,..., que se llama cero ordinario; el otro es el cero complejo. La hipótesis de Riemann significa que las partes reales de estos puntos cero complejos son todas, es decir, todos los puntos cero complejos están en esta línea recta (en lo sucesivo, línea crítica).
Esta pregunta aparentemente sencilla no lo es. Históricamente, encontrar los ceros de un polinomio, especialmente las raíces complejas de una ecuación algebraica, no ha sido un problema sencillo. Los ceros de funciones especiales no son fáciles de encontrar. Hace 85 años, Hardy demostró por primera vez que hay infinitos puntos cero en esta línea crítica. Hace diez años sabíamos que 2/5 de los puntos cero complejos estaban en esta línea, pero hasta ahora no se ha descubierto ningún punto cero complejo fuera de esta línea. Por lo tanto, aún no se ha determinado si la hipótesis de Riemann es correcta o incorrecta.
Esta sencilla función especial es matemáticamente significativa. Por esto, la hipótesis de Riemann siempre ha sido considerada una de las hipótesis más importantes. Un pequeño avance en esta hipótesis conduciría a muchos logros significativos. El teorema de los números primos propuesto por Gauss hace 200 años se demostró hace 100 años gracias a un gran avance en la hipótesis de Riemann. En ese momento, sólo se demostró que los puntos cero complejos están todos cerca de la línea crítica. Si se demuestra plenamente la hipótesis de Riemann, toda la teoría analítica de números logrará un progreso integral.
Más importante aún, se han introducido varias funciones y sus funciones L generalizadas en la teoría algebraica de números, la geometría algebraica, la geometría diferencial, la teoría de sistemas dinámicos y otras disciplinas, cada una de las cuales tiene su correspondiente "hipótesis de Riemann". , algunos de los cuales han demostrado conducir a avances en esta rama. Como puedes imaginar, la hipótesis de Riemann y sus diversas extensiones son una de las cuestiones centrales del siglo XXI.