Es decir, es inevitable un conjunto de "configuraciones" que consta de dos vecinos, tres vecinos, cuatro o cinco vecinos, y cada mapa contiene al menos una de estas cuatro configuraciones. Otro concepto introducido por Camp es el de reducibilidad. El uso del término "negociable" proviene del argumento de Camp. Demostró que mientras un país en un mapa de cinco colores tenga cuatro países vecinos, habrá un mapa de cinco colores con menos países. Desde que se propusieron los conceptos de "configuración" y "reducibilidad", se han desarrollado gradualmente algunos métodos estándar para probar configuraciones para determinar si son reducibles. Se pueden encontrar los grupos necesarios de configuraciones reducibles, lo que es la prueba de "cuatro bases importantes para". el "problema del color". Pero para demostrar que una configuración grande es reducible es necesario comprobar muchos detalles, lo cual es bastante complicado. Once años más tarde, en 1890, Herwood, que sólo tenía 29 años y estudiaba en la Universidad de Oxford, utilizó sus cálculos precisos para señalar las lagunas en la prueba de Kemp. Señala que el argumento de Kemp de que un país sin un mapa mínimo de cinco colores no puede tener cinco vecinos es erróneo. Pronto, la prueba de Taylor también fue refutada. Se descubrió que en realidad demostraron una proposición débil: el teorema de los cinco colores. Es decir, basta con pintar el mapa con cinco colores. Más tarde, cada vez más matemáticos se devanaron los sesos por esto, pero no encontraron nada. Como resultado, la gente empezó a darse cuenta de que esta pregunta aparentemente simple era en realidad un problema difícil comparable a la conjetura de Fermat. Desde el siglo XX, los científicos han seguido básicamente las ideas de Kemp para demostrar la conjetura de los cuatro colores. En 1913, Boekhoff, un famoso matemático estadounidense de la Universidad de Harvard, utilizó las ideas de Kemp y las combinó con sus nuevas ideas y demostró que algunas configuraciones grandes son reducibles. Posteriormente, el matemático estadounidense Franklin demostró en 1939 que un mapa de menos de 22 países se podía colorear con cuatro colores. En 1950, alguien de 22 países avanzó a 35 países. En 1960 se demostró que se podían colorear mapas de hasta 39 países con sólo cuatro colores; luego se avanzó a 50 países. Parece que el progreso es todavía muy lento. La invención de las computadoras digitales de alta velocidad impulsó a más matemáticos a estudiar el "problema de los cuatro colores". Heck, que comenzó a estudiar la conjetura de los cuatro colores en 1936, afirmó públicamente que la conjetura de los cuatro colores podría demostrarse encontrando un grupo necesario de gráficos reducibles. Su alumno Touré escribió un programa de cálculo. Heck no sólo puede utilizar los datos generados por este programa para demostrar la reducibilidad de las configuraciones, sino que también puede describir configuraciones reducibles convirtiendo asignaciones en formas conocidas matemáticamente como "duales". Trazó un mapa de las capitales de cada país y luego conectó las capitales vecinas con un ferrocarril a través de la frontera. Todas las líneas excepto las capitales (llamadas vértices) y las líneas de ferrocarril (llamadas arcos o aristas) se borran, y lo que queda se llama la gráfica dual de la gráfica original. A finales de la década de 1960, Heck introdujo un método similar al movimiento de cargas en una red eléctrica para buscar un conjunto inevitable de configuraciones. El "método de descarga", que apareció por primera vez de forma bastante inmadura en la investigación de Heck, es una clave para futuras investigaciones sobre los grupos necesarios y un elemento central en la demostración del teorema de los cuatro colores. Después de la llegada de las computadoras electrónicas, el proceso de demostración de la conjetura de los cuatro colores se aceleró enormemente debido al rápido aumento de la velocidad de cálculo y la aparición del diálogo entre humanos y computadoras. Haken, de la Universidad de Illinois en Estados Unidos, comenzó a mejorar el "proceso de alta" en 1970 y luego compiló un buen programa con Appel. En junio de 1976, pasaron 1.200 horas en dos computadoras electrónicas diferentes en la Universidad de Illinois, hicieron 100 mil millones de juicios y finalmente completaron la demostración del teorema de los cuatro colores, que causó sensación en el mundo. Este es un evento importante que ha atraído a muchos matemáticos y entusiastas de las matemáticas durante más de 100 años. Cuando los dos matemáticos publicaron sus hallazgos, la oficina de correos local selló todo el correo enviado ese día con un matasellos especial de "Cuatro colores son suficientes" para celebrar la solución del rompecabezas. El "problema de los cuatro colores" resultó ser sólo una solución a un difícil problema que había durado más de 100 años. Se convirtió en el punto de partida de una serie de nuevas ideas en la historia de las matemáticas. Durante el proceso de investigación del "problema de los cuatro colores", surgieron muchas teorías matemáticas nuevas y se desarrollaron muchas técnicas de cálculo matemático. Por ejemplo, convertir el problema de coloración de un mapa en un problema de teoría de grafos enriquece el contenido de la teoría de grafos. No sólo eso, sino que el "problema de los cuatro colores" también ha desempeñado un papel en el diseño eficaz de los horarios de vuelos de las aerolíneas y en el diseño de programas de codificación informática.
Sin embargo, muchos matemáticos no están satisfechos con los logros de las computadoras. Pensaron que debería haber una forma sencilla y clara de demostrarlo por escrito. A día de hoy, muchos matemáticos y entusiastas de las matemáticas siguen buscando métodos de demostración más sencillos. Fundado por Liu Hongping
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