Demostración de la infinidad de números primos
El número de números primos es infinito. La prueba más clásica fue demostrada por Euclides y registrada en sus "Elementos de geometría". Utiliza un método de prueba comúnmente utilizado: la reducción al absurdo. La prueba específica es la siguiente:
Supongamos que solo hay un número limitado de n números primos, ordenados de pequeño a grande como p1, p2,..., pn, asumiendo n = P1× P2×. ..× PN, entonces N +1 no es un número primo.
●Si N+1 es un número primo, entonces N+1 es mayor que p1, p2,..., pn, por lo que no está en el conjunto de esos números primos hipotéticos.
Si N+1 es un número compuesto, debido a que cualquier número compuesto se puede descomponer en el producto de varios números primos, el máximo común divisor de N y N+1 es 1, por lo que N+1 no puede serlo; p1 Divisible por, p2,...,pn, por lo que los factores primos obtenidos al descomponer este número complejo definitivamente no están en el conjunto hipotético de números primos.
Entonces, ya sea que el número sea un número primo o un número compuesto, significa que además del supuesto número finito de números primos, hay otros números primos.
Para cualquier conjunto finito de números primos, el método anterior siempre puede llevar a la conclusión de que un número primo no está en el conjunto hipotético de números primos.
Así que la hipótesis original no se cumple. En otras palabras, hay infinitos números primos.
Otros matemáticos también han dado sus propias pruebas. Euler utilizó la función zeta de Riemann para demostrar que la suma de los recíprocos de todos los números primos es divergente. La demostración de Ernst Kummer fue más concisa y Hillel Furstenberg utilizó la topología para demostrarla.
Se utiliza para calcular el número de números primos dentro de un cierto rango
Aunque el número primo completo es infinito, algunas personas preguntarán: "¿Cuántos números primos hay por debajo de 100.000?" "El número aleatorio de 100 es ¿Qué probabilidad hay de que sea un número primo?" El teorema de los números primos puede responder a esta pregunta.
Edita esta famosa pregunta La conjetura de Goldbach
En una carta a Euler en 1742, Goldbach propuso la siguiente conjetura: Cualquier número entero mayor que 2 se puede escribir como tres La suma de los números primos. Debido a que la convención "1 también es un número primo" ya no se usa en matemáticas, la versión moderna de la conjetura original es que cualquier número entero mayor que 5 puede escribirse como la suma de tres números primos. Euler también propuso otra versión equivalente en su defensa, es decir, cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos. Se dice que la conjetura común hoy en día es la versión de Euler. La proposición de que cualquier número par suficientemente grande puede expresarse como la suma de un número con no más de un factor primo y un número con no más de b factores primos se registra como "a + b". En 1966, Chen Jingrun demostró que "1+2" es cierto, es decir, "cualquier número par que sea lo suficientemente grande puede expresarse como la suma de dos números primos, o la suma de un número primo y un semi- número primo." Una conjetura común hoy en día es la versión de Euler, es decir, cualquier número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos, también conocida como "Conjetura de Goldbach fuerte" o "Conjetura de Goldbach sobre números pares".
De la conjetura de Goldbach sobre los números pares se puede inferir que cualquier número impar mayor que 7 puede escribirse como la suma de tres números primos. Esta última se denomina "conjetura de Goldbach débil" o "conjetura de Goldbach sobre números impares".
Si la conjetura de Goldbach es cierta para los números pares, entonces la conjetura de Goldbach será cierta para los números impares. La conjetura débil de Goldbach no se ha resuelto por completo, pero en 1937, el ex matemático soviético Vinogradov demostró que un número primo impar suficientemente grande se puede escribir como la suma de tres números primos, también llamado teorema de Goldbach-V Nogradov Hu o tres números primos. teorema. Los matemáticos creen que la conjetura débil de Goldbach está básicamente resuelta.
Hipótesis de Riemann
La Hipótesis de Riemann es un punto cero de la función zeta de Riemann ζ(s) propuesta por el matemático Bornhard Riemann (1826-1866) en 1859. Conjetura de distribución. El matemático alemán Hilbert enumeró 23 problemas matemáticos, de los cuales la hipótesis de Riemann se incluyó en el octavo problema. No existen reglas simples para la distribución de números primos en números naturales. Riemann descubrió que la frecuencia de los números primos está estrechamente relacionada con la función zeta de Riemann. La Hipótesis de Riemann propone que el punto cero no trivial de la función zeta de Riemann ζ(s) (aquí significa que s no es el valor de los puntos -2, -4, -6, etc.) es 1/2.
En otras palabras, todos los puntos cero no triviales deben ubicarse en la línea recta 1/2+ti ("línea crítica"). t es un número real e I es la unidad básica de los números imaginarios. Hasta el momento nadie ha aportado una prueba convincente y razonable de la hipótesis de Riemann.
En el estudio de la Hipótesis de Riemann, los matemáticos llaman línea crítica a la recta Re(s)=1/2 en el plano complejo. Usando este término, la hipótesis de Riemann también se puede expresar como: todos los puntos cero no triviales de la función zeta de Riemann están ubicados en la línea crítica.
La Hipótesis de Riemann fue propuesta por Riemann en 1859. En el proceso de demostrar el teorema de los números primos, Riemann llegó a la conclusión de que los puntos cero de la función Zeta están todos en la línea recta Res(s) = 1/2. Se dio por vencido después de no poder demostrarlo, porque tenía poco impacto en su demostración del teorema de los números primos. Pero este problema aún no se ha resuelto y ni siquiera se ha demostrado una conjetura más simple que esta hipótesis. Muchos problemas de la teoría de funciones y la teoría analítica de números se basan en la hipótesis de Riemann. La hipótesis generalizada de Riemann en la teoría algebraica de números ha tenido consecuencias de gran alcance. Si podemos probar la hipótesis de Riemann, podremos resolver muchos problemas.
Conjetura de los números primos gemelos
En 1849, Polinac propuso la conjetura de los números primos gemelos, es decir, supuso que existen infinitos pares de números primos gemelos.
Los "números primos gemelos" de la conjetura se refieren a un par de números primos cuya diferencia es 2. Por ejemplo, 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 10016957 y 10016959 son todos números primos gemelos.
Los números primos hasta 100 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 465438.
El número 2 (2 n)+1 de Fermat
Fermat, conocido como "el mayor matemático francés del siglo XVII", también estudió las propiedades de los números primos. Encontró que si Fn = 2 (2 n)+1, entonces cuando n es igual a 0, 1, 2, 3 y 4 respectivamente, Fn da 3, 5, 17, 257 y 65537 respectivamente, que son todos primos. números. Porque F5 es demasiado grande (F5 es el número de Fermat. 67 años después de la muerte de Fermat, el matemático suizo Euler, de 25 años, demostró que F5 es un número compuesto.
Los matemáticos nunca volvieron a descubrir Fn. ¿Qué valores Los números primos son todos números compuestos. En la actualidad, debido a que el cuadrado es más grande, hay menos pruebas. Ahora los matemáticos han obtenido el valor máximo de Fn: n = 1495, que tiene tantos dígitos como 10 10584. es grande, no es un número primo.
Números primos de Messenne
En el siglo XVII d.C., un matemático francés llamado Mersenne hizo una vez una conjetura: 2 p-1, cuando. p es un número primo, 2. p-1 es un número primo. Comprobó y encontró que cuando p = 2, 3, 5, 7, 17, 19, los valores de las expresiones algebraicas obtenidas son todos números primos. Más tarde, Euler demostró que cuando p = 31, 2 p-1 es un número primo. Cuando p = 2, 3, 5, 7, 2 p-1 es un número primo, pero cuando p = 11, se obtiene 2047 = 23 ×. 89 no es un número primo.
Ahora quedan tres números de Mersenne, p=67, 127, 257. Debido a que eran demasiado grandes, no se verificaron durante mucho tiempo después del de Mersenne. Después de la muerte, el matemático estadounidense Kohler demostró que 2 67-1 = 193707721 × 761838257287 es un número compuesto. Este es el noveno número de Mersenne. En el siglo XX, la gente demostró sucesivamente que 10 números de Mersenne son números primos y 11 números de Mersenne son compuestos. números La disposición desordenada de los números primos también dificulta que las personas encuentren la ley de los números primos.
El número primo de Mersenne más grande descubierto por los matemáticos es 2 43112609-1. Edite teoremas relacionados en este párrafo El teorema de los números primos
El teorema de los números primos describe la distribución general de los números primos, uno por uno, pero no hay regularidad en la aparición de números primos. En general, el número de números primos sigue un patrón. Para números reales positivos x, π(x) se define como no mayor que x. El número de primos, los matemáticos han encontrado algunas funciones para estimar el crecimiento de π(x). La siguiente es la primera estimación de este tipo. π(x)≈x/ln x donde ln x es el logaritmo natural de x, arriba. La fórmula indica que cuando x se acerca a ∞, la relación de π(x) a x/ln x. se acerca a 1 (Nota: este resultado fue descubierto por Gauss), pero esto no significa que sus valores aumentan a medida que x aumenta. Y cerca, la siguiente es una mejor estimación de π(x): π(x)= Li(. x)+O(XE(-(ln x)(1/2)/15), cuando x está cerca de ∞ .
Entre ellos Li(x) = ∫(dt/ln x2, x), el segundo término en el lado derecho de la relación es la estimación del error.
El teorema de los números primos puede dar una estimación asintótica del enésimo número primo p(n): p (n) ~ n/ln n, y también da la probabilidad de extraer un número primo de un número entero. Seleccione aleatoriamente un número natural no mayor que n, y la probabilidad de que sea un número primo es aproximadamente 1/ln^n. La fórmula de este teorema fue propuesta por el matemático francés Legendre en 1798. En 1896, el matemático francés Jacques Hadamard y el matemático belga Charles Jean de la Vallée-Poussin proporcionaron pruebas de forma independiente. La prueba utiliza un análisis complejo, específicamente la función zeta de Riemann. Debido a que la función zeta de Riemann está estrechamente relacionada con π(x), la hipótesis de Riemann sobre la función zeta de Riemann es muy importante para la teoría de números. Una vez probada la conjetura, la estimación del error del teorema de los números primos se puede mejorar considerablemente. En 1901, el matemático sueco Helge von Koch demostró que si la hipótesis de Riemann es cierta, la estimación del término de error en la relación anterior se puede mejorar a π (x) = Li (x) + O (x (1/2) LNX ), Pero se desconoce la constante del término O grande. Algunas demostraciones elementales del teorema de los números primos requieren únicamente métodos de teoría de números. La primera prueba elemental fue obtenida en 1949 por el matemático húngaro Paul Edith ("Erdos" o "Erdoshi") en colaboración con el matemático noruego Atlee Silberg. Hasta entonces, algunos matemáticos no creían que se pudieran encontrar demostraciones elementales sin recurrir a matemáticas difíciles. El matemático británico Hardy dijo que el teorema de los números primos debe demostrarse mediante un análisis complejo que muestre la "profundidad" de los resultados del teorema. Creía que utilizar únicamente números reales no era suficiente para resolver ciertos problemas, y que se debían introducir números complejos para resolverlos. Esto se basó en la sensación de que algunos métodos eran más avanzados y poderosos que otros, y la demostración elemental del teorema de los números primos socavó este argumento. La prueba de Selberg-Edith simplemente ilustra que las matemáticas combinatorias aparentemente elementales también pueden ser muy poderosas. Sin embargo, cabe señalar que, aunque esta prueba elemental sólo utiliza métodos elementales, es incluso más difícil que utilizar un análisis complejo.
Teorema Fundamental de la Aritmética
Cualquier número natural n mayor que 1 puede descomponerse únicamente en el producto de un número finito de números primos n = (P_1 A1) * (P _ 2 A2) ..(P _ N An), donde P _ 1 < P _ 2 <...& ltP_n es un número primo y su potencia ai es un entero positivo.
Esta descomposición se llama descomposición estándar de n.
El contenido del teorema fundamental de la aritmética consta de dos partes: la existencia de la descomposición y la unicidad de la descomposición (es decir, la forma en que los números enteros positivos se descomponen en productos de números primos es única sin considerar el orden de disposición).
El Teorema Fundamental de la Aritmética es un teorema básico en la teoría elemental de números y el soporte lógico y punto de partida para muchos otros teoremas.
Este teorema se puede generalizar a álgebra conmutativa más general y teoría algebraica de números. Gauss demostró que el anillo entero complejo Z[i] también tiene un teorema de descomposición único. También se resumen conceptos como descomposición única de anillos integrales y anillos integrales euclidianos. Uno más general es el teorema de descomposición ideal de Dedekind.
Series aritméticas de números primos
La secuencia aritmética es un tipo de secuencia. En una secuencia aritmética, la diferencia entre dos términos adyacentes cualesquiera es igual. Esta diferencia se llama tolerancia. Similar a 7, 37, 67, 97, 107, 137, 167, 197. Esta secuencia de números primos se llama secuencia prima aritmética. En 2004, Green y Terence Tao demostraron la existencia de secuencias aritméticas de números primos arbitrariamente largas. El 18 de abril de 2004, los dos anunciaron que habían demostrado "la existencia de una secuencia aritmética de números primos de cualquier longitud", es decir, para cualquier valor k, hay k números primos en la secuencia aritmética. Por ejemplo, K=3, hay secuencias de números primos 3, 5, 7 (cada dos son 2)...k = 10, hay secuencias de números primos 199, 409, 619, 829, 1039, 1249.
Datos de referencia
1. Los resultados de Green y Terence Tao demostraron la existencia de números primos de cualquier longitud. Autor: Green, B. y Tao, T; Título del artículo: Los números primos contienen longitudes arbitrarias y series aritméticas; Fecha de presentación: 9 de abril de 2004; Fecha de aceptación: 12 de septiembre de 2005;