Definición
En un polígono, el punto con la menor suma de distancias a cada vértice se llama punto de Fermat del polígono.
En triángulos planos:
(1). Tres triángulos con ángulos interiores menores a 120, con AB, BC, CA como lados, forman un triángulo equilátero ABC 1, ACB fuera del. triángulo 1. BCA 1, luego conecte AA 1, BB 65438.
(2) Si el ángulo interior del triángulo es mayor o igual a 120 grados, entonces el vértice de este ángulo obtuso es la demanda.
(3) Cuando △ABC es un triángulo equilátero, el centro exterior coincide con el punto de Fermat.
(1) En un triángulo equilátero, BP=PC=PA, BP, PC y PA son las alturas de los tres lados del triángulo y las bisectrices del triángulo respectivamente. Es el centro del círculo inscrito y del círculo circunscrito. △BPC≔△CPA≔△PBA .
(2) Cuando BC=BA pero CA≠AB, BP es la altura y la línea media del triángulo CA y la bisectriz del ángulo del triángulo.
Certificado
(1) El ángulo entre el punto Fermat y el lado opuesto es de 120 grados.
△CC1B y △AA1B, BC = ba1, Ba = bc1, ∠ CBC1 = ∠ b 60 grados = ∠ABA1,
△CC1B y △AA1B son triángulos congruentes, obtenemos ∠PCB=∠PA1B.
De manera similar, podemos obtener ∠CBP=∠CA1P.
De ∠PA1B ∠CA1P=60 grados, ∠PCB ∠CBP=60 grados, entonces ∠CPB=120 grados.
De manera similar, ∠APB=120 grados, ∠APC=120 grados.
(2)PA PB PC=AA1
Rote △BPC 60 grados alrededor del punto B para que coincida con △BDA1 y conecte PD, entonces △PDB es un triángulo equilátero, entonces ∠BPD =60 grados.
Y ∠BPA=120 grados, entonces A, P y D están en la misma línea recta.
Y ∠CPB=∠A1DB=120 grados, ∠PDB=60 grados, ∠PDA1=180 grados, entonces A, P, D, A1 son cuatro.
(3)PA PB PC es el más corto.
Tome cualquier punto M en △ABC (no coincidente con el punto P), conecte AM, BM y CM, gire △BMC 60 grados alrededor del punto B para que coincida con △BGA1, conecte AM, GM, A1G (Igual que arriba), entonces AA1
Punto de Fermat del cuadrilátero plano
La prueba del punto de Fermat en el cuadrilátero plano es más simple y fácil de aprender que la prueba del punto de Fermat en un triángulo.
(1) En el cuadrilátero convexo ABCD, el punto de Fermat es la intersección P de las dos diagonales AC y BD.
(2) En el cuadrilátero cóncavo ABCD, el punto de Fermat es el vértice cóncavo D(P).
Fermat planteó una vez una pregunta interesante sobre los triángulos: encontrar un punto en el plano donde se encuentra el triángulo para minimizar la suma de las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo. Es decir, encuentre un punto P en ABC que minimice el valor de PA PB PC. La gente llama a este punto "punto Fermat".
Hoy vamos a explorar Fermat Point. En primer lugar, los triángulos se dividen en dos situaciones:
(1) Cuando el ángulo interior del triángulo es mayor o igual a 120 grados, el punto de Fermat es el vértice del ángulo interior.
Comprobemos esta conclusión: para cualquier punto P del triángulo, extender BA hasta C' de modo que AC=AC ', de modo que ∠C'AP'=∠CAP, de modo que AP'=AP, PC'=PC, es decir, girar el triángulo APC alrededor de a.
Entonces △APC≔△AP 'c' (invarianza rotacional)
∵∠ BAC ≥ 120 (conocido)
∴∠ PAP' = 180 -∠ BAP-∠ C 'AP' (significado de ángulo recto) = 180 -∠ BAP-∠ CAP (reemplazo equivalente) = 65436.
∴pap' en un triángulo isósceles (llamado AP'=AP), AP ≥ PP' (∠ PAP' < ∠ APP').
∴pa pb pc≥pp' pb p ' c ' gt BC ' (la suma de los dos lados es mayor que el tercer lado) = AB AC (se sabe que AC=AC')
Entonces A es el punto de Fermat. Esta es la conclusión anterior.
Discutamos el segundo caso:
(2) Si los tres ángulos interiores están dentro de los 120 grados, entonces el punto de Fermat es la relación entre el punto de Fermat y los tres vértices de el triángulo Puntos que conectan líneas que forman un ángulo de 120 grados.
Construya un punto P en △ABC, de modo que ∠ APC = ∠ BPC = ∠ CPA = 120. Esta es la línea perpendicular de PA, Pb y PC, que corta los tres puntos D, E y F (como se muestra en la figura), haga otro punto P', que no coincida con el punto P, y conecte P'a.
∫≈APB = 120, ∴∠pab ∠pba=180-120 = 60
Y ∠PAF = ∠PBF = 90, ∴F = 180-(90 90-60 ).
De manera similar, podemos obtener: ∠ d = ∠ e = ∠ f = 60, es decir, △DEF es un triángulo equilátero, suponiendo que la longitud del lado es d y el área es s.
Entonces S= 1/2 d (PA PB PC)
∫P ' h≤P ' a
∴1/2×d×p ' h×2s≤1/2×d×p ' a×2s
∫1/2×d×p ' h =△EP ' f∴2s△EP ' f≤d×p ' a× s
De manera similar: 2S△DP'F≤d×P'B×S, 2s△EP'd ≤ d× p 'c× s.
Suma para obtener 2s(△EP ' f △DP ' f △EP ' d)≤d×s(P ' a P ' b P ' c).
∫EP ' f △DP ' f △EP ' d =△EDF.
Dividimos ambos lados de 2S×S ≤ d ×S (P'A P'B P'C) entre S para obtener 2S ≤ d (P'A P'B P'C).
Sustituyendo S= 1/2 ×d (PA PB PC) en la fórmula anterior, podemos obtener:
PA PB PC ≤ P'A P'B P'C, si y sólo cuando P y P' coinciden, se toma el signo igual.
Entonces P es el punto de Fermat, lo cual es consistente con la conclusión anterior.
Después de la derivación anterior, podemos encontrar el punto de Fermat en el triángulo:
Cuando el ángulo interior del triángulo es mayor o igual a 120 grados, el punto de Fermat es el vértice del ángulo interior; si los tres Si todos los ángulos interiores están dentro de 120 grados, entonces el punto de Fermat es el punto donde la línea que conecta el punto de Fermat y los tres vértices del triángulo forma un ángulo de 120 grados.
Pierre de Fermat (1601-1665) fue un matemático y físico francés. Fermat no recibió ninguna educación matemática especializada durante su vida y la investigación matemática era solo un pasatiempo. Sin embargo, en la Francia del siglo XVII ningún matemático podía igualarlo. Fue uno de los inventores de la geometría analítica; el principal fundador de la teoría de la probabilidad y heredero del mundo de la teoría de números en el siglo XVII. El maestro de las matemáticas Fermat fue el mayor matemático francés del siglo XVII. En particular, su último teorema de Fermat ha preocupado a los sabios del mundo durante 358 años.
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