Apreciación y descubrimiento matemático
Compilado por Yu Guohai
Sección 1: De la aparición de la raíz cuadrada 2 a la paradoja del barbero
1. La aparición de la raíz cuadrada de 2: la primera crisis matemática
Los diez "hermosos teoremas": la raíz cuadrada de 2 es un número irracional. Este teorema ocupa el séptimo lugar, seguido de cerca por "Π es "Números trascendentales". , el teorema de los cuatro colores, una conclusión del gran matemático Fermat
Pitágoras (alrededor de 580 a. C.-500 a. C.)
El geómetra griego antiguo Euclides demostró que la raíz del número 2 es irracional número
Pitágoras: el fundador de la "filosofía" y las "matemáticas", la primera significa "pasatiempo intelectual" y la segunda significa "poder aprender" conocimientos”. La visión central de los pitagóricos es que "todo es número", lo que significa que todo en el universo puede rastrearse hasta números enteros o proporciones de números enteros. Esta escuela descubrió el teorema de Pitágoras, que también desencadenó la primera crisis matemática.
2. ¿Es lo infinitesimal igual a cero? La segunda crisis matemática
El cálculo fundado por Newton y Leibniz se basaba en lo "infinitamente pequeño", pero ¿qué es al final cómo? ¿pequeño? Cuando Newton dedujo, trataría el infinitesimal como denominador y luego dividiría el número infinitesimal. Entonces, ¿si el infinitesimal es cero? Si es cero, no se puede usar como denominador, y si no es cero, no se puede usar. eliminado. Aquí es donde el cálculo falla.
En 1734, fue cuestionada por George Berkeley, el fundador del idealismo subjetivo, lo que desembocó en la segunda crisis matemática.
El debate continuó hasta el siglo XIX, cien años después, la teoría del límite establecida por el famoso matemático francés Cauchy y más tarde por Weierstrass, Dedekind y Cantor en la teoría de los números reales fue la teoría del cálculo. Se han sentado estrictas bases lógicas.
3. La paradoja de Barber: la tercera crisis matemática
En la segunda mitad del siglo XIX, Cantor fundó la famosa teoría de conjuntos, que finalmente puso en un segundo plano la construcción de la ciencia matemática. pie estable.
Sin embargo, el filósofo británico Bertrand Russell llegó a una conclusión: la teoría de conjuntos no es absolutamente estricta y tiene fallos. Por ejemplo, si un barbero quiere cortar el pelo a "personas que no le cortan el pelo", ¿debería cortarse el pelo él mismo? Si no te cortas el pelo, entonces, si cumples las condiciones, deberías cortarte el pelo. Pero si te cortas el pelo, no cumples las condiciones, por lo que no deberías cortarte el pelo.
Sección 2: De Euclides a Lobachevsky
1. Euclides y "Elementos de Geometría"
"Elementos de Geometría" Es una obra escrita por Euclides en del siglo III a.C. y se la conoce como la "Biblia de las Matemáticas".
Los tres grandes matemáticos en los inicios de la escuela alejandrina en la antigua Grecia: Euclides, Apolonio y Arquímedes
Gauss (siglo XIX) es reconocido como el "matemático después de Newton" El rey de los matemáticos”. La existencia de una geometría no euclidiana (que puede probar el axioma de las paralelas) fue descubierta, pero no propuesta.
2. Lobachevsky y la geometría no euclidiana
Generalmente se considera que los fundadores de la geometría no euclidiana fueron Lobachevsky y Bolyo.
La diferencia esencial entre la geometría de Roche y la geometría euclidiana radica en sus diferentes axiomas de paralelas.
La geometría Fio también incluye la geometría riemanniana.
Riemann fue el último discípulo de Gauss.
El científico alemán Klein dio una explicación unificada de la geometría no euclidiana: llamó a la geometría euclidiana "geometría parabólica" y a la geometría de Roche "geometría hiperbólica" (la suma de los ángulos interiores de un triángulo es inferior a 180 grados ), la geometría riemanniana se denomina "geometría elíptica" (la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor a 180 grados)
El idealismo de Kant.
La historia del descubrimiento de la geometría no euclidiana es esencialmente una historia de la lucha entre el materialismo y el idealismo en geometría.
Sección 3: Del Teorema de Pitágoras a la Conjetura de Fermat
El Teorema de Pitágoras, también conocido como Teorema de Pitágoras, es llamado por algunos la “Perla de la Geometría”, y también se le llama la “Perla de la Geometría” por otros. Es el "primer teorema de todos los tiempos".
Pitágoras, demostró el teorema de Pitágoras.
Shang Gao, de la dinastía Zhou Occidental en China, demostró el teorema de Pitágoras, más de 500 años antes que Occidente.
1. Demostración del teorema de Pitágoras
Demostración de Zhao Shuang:
El premio más alto en matemáticas: Medalla Fields
2 , Algebraico investigación sobre el teorema de Pitágoras
En cuanto a la expresión unificada del número de Pitágoras, generalmente se utiliza la siguiente fórmula:
En el siglo XVII, la conjetura de Fermat:
Forma Por ejemplo, la ecuación de x^n+y^n=z^n, cuando n>2, no puede encontrar un conjunto de soluciones enteras positivas.
Euler demostró que cuando n=4 o 3, no hay solución entera positiva.
El matemático británico Andrew Wiles demostró finalmente la conjetura de Fermat en 1995.
Sección 4 De Zhouyi Bagua a los números binarios
A Leibniz se le puede llamar un erudito enciclopédico, que inventó el cálculo y el sistema binario.
"El Libro de los Cambios" dice: El Tai Chi da origen a dos instrumentos, dos formas dan a luz a cuatro imágenes y cuatro imágenes dan a luz al Bagua. Kun, Gen (gen), Kan, Xun (xun), Zhen, Li, Dui, Qian. El "estado apagado" está representado por 0.
Sección 1 Números perfectos y números de afinidad
En 1903, Cauchy publicó un informe académico, 2^67-1 = 193707721x761838257287, que causó gran sensación porque negaba "2^67". -1 es un número primo", lo que también niega que "2^66x(2^67-1) sea un número perfecto". La conjetura de Mason fue rechazada.
Los primos de tipo 2^p-1 (p es un número primo) se llaman primos de Mersenne en teoría de números. Los números primos grandes que la gente encuentra son básicamente primos de Mersenne.
Los números primos también se llaman números primos
1. Números perfectos
Un número que es igual a la suma de todos sus factores (excluido él mismo) es un número perfecto. Por ejemplo, 6=1+2+3, también lo es 28. (Expansión: La luna orbita la tierra durante 28 días. Las antiguas dinastías chinas tenían seis artes: etiqueta, música, tiro con arco, control imperial, caligrafía y matemáticas. Qin Shihuang usó seis como número del país, y había veintiocho días. ocho estrellas en el cielo.)
"Si 2^n-1 es un número primo, entonces el número natural 2^(n-1)x(2^n-1) debe ser un número perfecto. ". Euclides demostró esta proposición y demostró que el siguiente es un número perfecto. Cuando n=2, 3, 5, 7.
El antiguo matemático griego Nicómaco dividió los números naturales en tres categorías: números perfectos, números excedentes y números deficitarios: un número natural igual a la suma de todos sus propios factores verdaderos se llama número perfecto, que es mayor que todos sus propios factores verdaderos. Un número natural cuya suma se llama número excedente, y un número natural que es menor que la suma de sus factores propios se llama número deficitario.
Existe una correspondencia uno a uno entre los números pares perfectos y los primos de Mersenne.
2. Números de afinidad
La suma de todos los factores verdaderos de 220 es 284, y la suma de todos los factores verdaderos de 284 es 220. Pitágoras llamó a estos dos números "números de afinidad" o "números de amigos". Es decir, si cualquiera de dos números naturales es la suma de los factores verdaderos del otro número, entonces los dos números son números de afinidad.
En 1636, Fermat descubrió el segundo par de números de afinidad 17296 y 18416. Dos años más tarde, Descartes encontró un tercer par de números de afinidad: 9437056 y 9363584.
En 1747, Euler enumeró directamente 61 pares de números de afinidad, aunque dos pares estaban equivocados.
Posteriormente se encontraron miles de pares de números de afinidad.
Con el nacimiento de los ordenadores electrónicos, se descubrió que sólo existen 42 pares de números de afinidad para los números naturales inferiores a 1 millón, y sólo 13 pares para los inferiores a 100.000.
Sección 2 Primos de Mersenne
Hay infinitos primos de Mersenne.
1. Exploración intensa en la era del cálculo con lápiz y papel
En la era del cálculo con lápiz y papel, sólo se encontraron 12 primos de Mersenne.
2. Un gran avance en la era de la informática mecánica
El proyecto Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) anunció el número 51 del número primo de Mersenne (2^82589933-1) en 2018. que es el número primo más grande descubierto hasta ahora.
3. Conclusión
Encontrar grandes números primos de Mersenne ayudará a mejorar los algoritmos de cifrado informático tradicionales.
Sección 3 Número de Narciso y Número Capriegal
Número de Narciso: El nombre tradicional es "número de regresión cúbica" o "número autógeno".
153=1^3+5^3+3^3
Si un número natural de n dígitos es igual a la suma de la enésima potencia de cada dígito, se llama n de n dígitos -ésimo número de regresión de potencia.
El número de flores de durazno: 1634=1^4+6^4+3^4+4^4
Algunas personas lo llaman número de flores o número de flores. .
En 1986, el profesor de matemáticas Anthony Dilana demostró que el número máximo de números de n dígitos que se pueden hacer en regresión es 60 dígitos.
2. Addendum Caplie
Dividimos el número por la mitad (si es un número impar, rellenamos el bit superior con 0), lo sumamos y lo elevamos al cuadrado. ser exactamente el número original, dichos números se denominan "números sumadores de Caprie" o "números de rayo", también llamados "números de reproducción divididos y al cuadrado". Dichos números incluyen 2025, 3025, 9801, etc.
(x+y)^2 = 100x+y
La suma de Caplie más pequeña es 81 ((8+1)^2=81)
La tesoro raro en la esquina del cuarto trimestre
1. El número más misterioso 142857
1/7 = 0,142857...
El número 142857 Después de multiplicar del 1 al 6 aparece el cuadrante numérico de la reencarnación.
2. Palíndromos
Leer de izquierda a derecha es exactamente lo mismo que leer de izquierda a izquierda.
12345678987654321 veces se llama número de la oliva, que también es un número cuadrado perfecto.
3. Números automórficos
La mantisa del cuadrado es igual al número mismo. Estos números se llaman números automórficos, por ejemplo: 25x25=625
. 4. El número más desafortunado es el 13
En Oriente, el 13 es un número de mucha suerte. Las 13 sectas del budismo introducidas en China representan la perfección del mérito y la virtud; el piso 13 del Palacio Potala, el piso 13 de la Pagoda Tianning, etc.
Pero en los países occidentales, el número 13 es un tabú. Judas, un discípulo de Jesús, traicionó a Jesús. Trece personas asistieron a la Última Cena. La fecha de la cena resultó ser el día 13. El día 13 trajo sufrimiento y desgracia a Jesús. Por lo tanto, el hotel no tiene piso 13 y el aeropuerto no tiene puerta 13.
5. Extrañas sumas idempotentes
Las sumas de las potencias de los siguientes dos conjuntos de números son iguales:
De la suma de las potencias de 0 a la suma de potencias de 8 Todos son iguales, pero a la novena potencia, el fenómeno de que las potencias de los dos conjuntos de números son iguales desaparece.
En 1900, el matemático Hilbert propuso los famosos 23 problemas matemáticos no resueltos, llamados "problemas de Hilbert".
En el año 2000, el Clay Mathematics Institute de Estados Unidos propuso los "Siete problemas matemáticos del milenio" (con una recompensa de 1 millón de dólares).
Sección 1 Hermosos teoremas de matemáticas: Fórmula de Euler y Serie de Basilea
1. Fórmula de Euler
2. Serie de Basilea
Calcula exactamente la suma de los recíprocos de los cuadrados de todos los números naturales distintos de cero. El resultado obtenido mediante el argumento de Euler lleva el nombre de la ciudad natal de Euler, Basilea, Suiza. El argumento utiliza series de Maclaurin.
El avance de la serie de Basilea produjo la Hipótesis de Riemann:
Los puntos cero de esta función, excepto s=-2, -4, -6... están todos en la plano complejo Distribuido sobre una recta cuya parte real es 1/2.
Sección 2: El Código de la Evolución del Universo: La Sección Áurea y la Secuencia de Fibonacci
1. La Sección Áurea
Viene de Pitágoras, para cualquier línea Dada segmento AB, encuentre un punto C en él, que se divide en dos segmentos de línea larga y corta por el punto C, de modo que la relación entre la longitud del segmento de línea más largo y la longitud de todo el segmento de línea sea igual a la relación de la longitud del segmento de línea más corto a la longitud del segmento de línea más largo. La relación es (√5-1)/2, que es aproximadamente 0,618.
2. La omnipresente sección áurea
La línea de 30° de latitud norte atraviesa las cuatro civilizaciones antiguas.
Las cuatro partes clave de las que dependen los humanos para sobrevivir: el ombligo, la garganta, las rodillas y las articulaciones del codo son las cuatro secciones doradas.
Nos sentimos más cómodos entre 22 y 24 °C, porque el producto de la temperatura normal del cuerpo humano de 37 °C por 0,618 es 22,9 °C.
Aplicados a la arquitectura: Partenón, Taj Mahal en la India, Catedral de Notre Dame en París, Torre Eiffel en Francia.
La "Sonrisa de Mona Lisa" y el "Hombre de Vitruvio" de Leonardo da Vinci.
Pentágono y pentágono regular.
3. Secuencia de Fibonacci
Algunas flores de girasol tienen 21 pétalos, otras tienen 34 pétalos y otras tienen 55 pétalos. Estos números están relacionados con la secuencia de Fibonacci: 1,1,2,3,8,13,21,34,55....
"Problema de reproducción del conejo"
Allí Hay una conexión inherente entre la secuencia de Fibonacci y la sección áurea. A medida que aumenta el número de secuencia, dos secuencias de Fibonacci adyacentes se acercan gradualmente a la proporción de la sección áurea.
Rectángulo Áureo: La longitud de los lados del nuevo cuadrado es igual a la suma de los lados de los dos cuadrados más cercanos.
Sección 3: La obra maestra de las matemáticas orientales: el teorema del resto chino
El "teorema del resto chino" (también conocido como teorema de Sun Tzu) es un teorema básico de la teoría de números, similar al de Wilson. teorema y teorema de Euler, el pequeño teorema de Fermat, y también se conocen como los cuatro teoremas principales de la teoría de números.
Proviene del Clásico de la Aritmética de Sun Tzu, es decir: cuando un número entero se divide entre 3, el resto es 2, cuando se divide entre 5, el resto es 3, y cuando se divide entre 7, el resto es 2. Encuentra este número entero. (La respuesta es 105n+23)
Solución: 70x2+21x3+15x2-105n
Los "Nueve capítulos del Libro de Números" de Qin Jiushao dan una declaración general: "Dayan busca una técnica".
Dian Bing de Han Xin es un representante de problemas similares
Sección 4 Matemáticas Everest: La conjetura de Goldbach
“La reina de las ciencias naturales son las matemáticas, la corona de matemáticas Es teoría de números, y la conjetura de Goldbach es la joya de la corona”.
Número primo (también llamado número primo): un número que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo.
“Cualquier número par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos.”
Goldbach, matemático alemán.
2. La ardua exploración de la conjetura de Goldbach
“Estrechando el cerco”
En 1966, después de 7 años de arduo trabajo, Chen Jingrun demostró que “1 + 2": Todo número par suficientemente grande es el producto de un número primo más no más de otros 2 números primos.
Suplemento de este capítulo
1. La fórmula matemática más bella:
Descubierta por el genio matemático indio Ramanujan:
2. "Gemelos" "Conjetura de los números primos"
"Conjetura de los números primos gemelos": Hay infinitos números primos p, por lo que p+2 también es un número primo.
Chen Jingrun dio la prueba.
Conjetura de los tres y cuatro colores
Un matemático estadounidense pasó 1.200 horas frente a un ordenador y realizó 10 mil millones de juicios para verificar la conjetura.
En 2016, Yu Chengren, de la Asociación de Matemáticas de Jilin, utilizó métodos matemáticos para demostrar el "teorema de los cuatro colores", uno de los tres principales problemas matemáticos del mundo.
Sección 1 La connotación, significado y nivel de la resolución de problemas matemáticos.
La resolución de problemas matemáticos atraviesa el aprendizaje de las matemáticas.
Fórmula de suma de secuencias aritméticas:
Sección 2 Resolver problemas para descubrir
1. Perseguir la diversificación de soluciones de resolución de problemas
2
3. Desarrollar el pensamiento generativo sobre los problemas
Sección 1: Contando las maravillas del bosque: las escapadas de la cigarra dorada
1 , La cigarra dorada muda su caparazón y permanece sin cambios hasta la muerte
Para dos conjuntos de números, las sumas son iguales y las sumas de los cuadrados son iguales. Borre simultáneamente de izquierda a derecha, o de derecha a izquierda, las propiedades permanecen sin cambios.
La suma de las potencias de dos conjuntos de números es igual
2. Construya una matriz de la suma de potencias
Se puede generar una nueva matriz a partir de una matriz conocida.
Sección 2 Juego del Granizo
1. Serie Shizuo Kakutani
Si es un número par, se convierte en m/2, si es un número impar, se convierte en 3m+1. Repita esta operación y el último número será 1 sin excepción.
2. Serie "123"
Escribe cualquier número natural, escribe el número de números pares, impares y enteros, repite esta operación, al final todo será 123.
3. Serie "6174"
Descubierta por el matemático indio Capriega, escribe un número de cuatro dígitos y ordénalo de mayor a menor para obtener un número para obtener otro número después. ordenando, reste los dos números (el número mayor reduce el número menor), repita esta operación y el número final será 6174.
Discusión de la Sección 3: Observación y experimento en el descubrimiento matemático
1. Observación científica y experimento científico
2. Observación matemática y experimento matemático
Sección 1 Problemas de cuadrado mágico y suma idempotente
"Luo Shu"
Cada círculo pequeño en Luo Shu puede representar un 1, y la forma numérica es la siguiente:
Este es el cuadrado mágico de tercer orden. La suma de los tres números en cada fila, columna y diagonal de la imagen es 15.
Un método para construir fácilmente cualquier cuadrado mágico de orden impar (el método de la escalera inventado por Lauber):
1. Un cuadrado mágico de tercer orden con ricas connotaciones
Magia Existe una misteriosa conexión interna entre los cuadrados, la idempotencia y la existencia de matrices. Las sumas de los cuadrados de la primera y tercera columnas de la figura 6-2 son iguales.
Genere nuevos métodos idempotentes y de matriz:
2. El interesante cuadrado mágico de cuarto orden
Un cuadrado mágico de cuarto orden muy conocido es el Tai indio El cuadrado mágico en la Estela del Templo Su:
La suma de las diagonales en cada fila y columna es 34, y si dibujas un cuadrado al azar, la suma de los cuatro números en las cuatro esquinas también es 34 . Lo que es aún más sorprendente es que si mueves las filas (o columnas) al otro lado, la disposición positiva resultante sigue siendo un cuadrado mágico, como se muestra en la Figura 6-4.
3. El infinitamente encantador cuadrado mágico de orden n
Sección 2 El descubrimiento de la fórmula del volumen tetraédrico
La fórmula de un triángulo es
S=(1/2)xaxh
o
S=(1/2)xaxbxsinθ
La fórmula del volumen de un tetraedro es
V=(1/3)xSxh
Entonces, ¿existe un segundo método de expresión para el tetraedro similar a la fórmula del área del triángulo?
Dados los dos lados adyacentes a y b del triángulo y el lado opuesto c, el ángulo entre los dos lados adyacentes del triángulo es:
cosθ = (a^2+ b ^2-c^2)/2ab
Discusión de la Sección 3: Inducción y analogía en el descubrimiento matemático
El razonamiento se considera un elemento importante de la alfabetización matemática básica.
El razonamiento generalmente se divide en razonamiento lógico y razonamiento deductivo. El proceso de construcción independiente de muchos conocimientos matemáticos es a menudo un proceso de "adivinar primero y demostrar después". "Adivinar" significa razonamiento razonable, que se materializa en métodos de razonamiento como la inducción y la analogía. "Prueba" se refiere al razonamiento deductivo, también conocido como razonamiento argumentativo.
1. Razonamiento inductivo, razonamiento analógico y razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo es el razonamiento de lo específico a lo general. La inducción generalmente se puede dividir en inducción incompleta e inducción completa.
El razonamiento analógico es el razonamiento de lo específico a lo específico, también llamado “analogía”.
El razonamiento deductivo es el razonamiento de lo general a lo particular.
2. Razonamiento inductivo en el descubrimiento matemático
Una vez que un problema matemático se relaciona con números primos, puede convertirse en un objeto de investigación significativo.
Conjetura de Goldbach: Cualquier número par mayor que 4 se puede expresar como la suma de dos números primos impares.
“Teorema de los cuatro cuadrados” de Bachet: Cualquier número natural puede representarse mediante la suma de uno, dos, tres o cuatro números cuadrados. (Excepto 7=4+1+1+1, que se representa por la suma de cuatro números cuadrados).
Números primos de Fermat:
Fermat propuso esta conjetura en 1640, pero fue rechazada por Euler en 1732 porque no era cierta cuando n=5.
3. El razonamiento analógico en los descubrimientos matemáticos
Sección 1 Teorema de Steiner-Remers
"Elementos de la Geometría" menciona: Isósceles Las bisectrices de los dos ángulos base de un triángulo tienen la misma longitud.
Remus propuso lo contrario de esta proposición: un triángulo con dos bisectrices interiores iguales es un triángulo isósceles.
El primero en responder a esta pregunta fue el geómetra suizo Steiner.
Sección 2 Volviendo a los números planos
Dado cualquier número natural, realiza las siguientes operaciones:
(1) Calcula primero su número cuadrado;
p>
(2) Divide el número cuadrado en dos partes para obtener dos números nuevos;
(3) Suma o resta los dos números divididos.
Si el resultado es un número cuadrado perfecto, el número original se llama número cuadrado.
Por ejemplo, 49:49^2=2401-->24+01=25=5^2
Si el dígito N de a es un número cuadrado y 10^a-N también es un número cuadrado, entonces se llama 10^ a-N es el número cuadrado simétrico de N. Por ejemplo 51 y 49.
Discusión de la Sección 3: Generalización y especialización en el descubrimiento matemático
"Teorema del hexágono de Pascal": si un hexágono está inscrito en una curva cuadrática (círculo, elipse, hipérbola, parábola), entonces los puntos de intersección de sus tres pares de lados opuestos están en la misma línea recta.
Sección 1 Una buena educación requiere buenos profesores
Los cuatro estándares de un buen profesor: ideales y creencias, sentimientos morales, conocimientos sólidos y benevolencia.
Existe una diferencia esencial entre el deseo de conocimiento y el deseo de exploración. La curiosidad es la necesidad interna del alumno de aprender conocimientos, que refleja la admiración por la acumulación de experiencias previas; el deseo de exploración es el deseo interno de comprender el mundo desconocido, y lo que representa es la exploración del mundo desconocido.
Sección 2: Enseñanza para el descubrimiento: búsqueda de caminos para la enseñanza del conocimiento matemático
Malentendido: el conocimiento lo determina todo. Al mismo tiempo, también debemos prestar atención a la comprensión y ser buenos pensando.
Sección 3 Enseñanza para el descubrimiento: Búsqueda de caminos para la enseñanza de la resolución de problemas de matemáticas
La "teoría de los números ideales", una nueva rama de las matemáticas, se beneficia de la exploración de la conjetura de Fermat.
El problema de los Siete Puentes de Königsberg se convirtió en la fuente de la teoría de grafos, y el estudio de los números primos de Mersenne también impulsó la revolución en la tecnología informática.
Paradojas y resolución de paradojas: (1) La paradoja infinita de Zenón; (2) La paradoja del Mentiroso; (3) Sobre la resolución de paradojas.
La derivación de la conjetura de Goldbach, conocida como la "Joya de la Corona de las Matemáticas", no ha tenido éxito hasta el momento.
Serie Maclaurin:
Cada vez más matemáticos parecen estar más interesados en la Hipótesis de Riemann.
2 es el número primo más pequeño (también llamado número primo) y el único número primo par.
fin