La idea de la teoría de juegos ha existido desde la antigüedad, y "El arte de la guerra" no es solo una obra militar, sino también la primera monografía de teoría de juegos. La teoría de juegos se centró inicialmente en el estudio de ganar y perder en ajedrez, bridge y juegos de azar. La comprensión de la situación del juego por parte de la gente sólo se basa en la experiencia y no se ha convertido en una teoría. No fue hasta principios del siglo XX que se convirtió oficialmente en una disciplina. En 1928, von Neumann demostró los principios básicos de la teoría de juegos, anunciando así el nacimiento oficial de la teoría de juegos. En 1944, la obra maestra que hizo época "Teoría de juegos y comportamiento económico", escrita por von Neumann y Morgenstern, extendió el juego de dos personas a una estructura de juego de N personas y aplicó el sistema de teoría de juegos al campo económico, sentando así las bases para esta disciplina. fundamento y sistema teórico. Cuando se trata de teoría de juegos, no se pueden ignorar los artículos fundamentales del genio de la teoría de juegos Nash, "Equilibrium Points of N-Player Games" (1950), "Non-Cooperative Games" (1951), etc. , y da el concepto de equilibrio de Nash y el teorema de existencia del equilibrio. Además, la investigación de Selton y Hassani también promovió el desarrollo de la teoría de juegos. Hoy en día, la teoría de juegos se ha convertido en una disciplina relativamente completa.
Elementos del juego
(1) Jugadores: En un partido o juego, todo participante con poder de decisión se convierte en jugador. Los juegos con sólo dos jugadores se denominan "juegos de dos jugadores" y los juegos con más de dos jugadores se denominan "juegos multijugador".
(2) Estrategia: En un juego, cada jugador tiene un plan de acción práctico y completo, es decir, el plan no es un plan de acción para una determinada etapa, sino un plan que guía toda la acción. , el plan de acción factible de un jugador de principio a fin se llama estrategia del jugador en este juego. Si en un juego todos tienen siempre un número finito de estrategias, se llama "juego finito", en caso contrario se llama "juego infinito".
(3) Ganancias y pérdidas: El resultado al final de una ronda se llama ganancia o pérdida. Al final de un juego, las ganancias y pérdidas de cada jugador no sólo están relacionadas con la estrategia elegida por el propio jugador, sino también con el conjunto de políticas adoptadas por el jugador en toda la situación. Por lo tanto, la "ganancia o pérdida" de cada jugador al final de un juego es una función de un conjunto de políticas establecidas por todos los jugadores, a menudo denominada función de pago.
(4) Para los participantes del juego, hay un resultado del juego.
(5) El juego implica equilibrio: el equilibrio es el equilibrio. En economía, el equilibrio es cuando la cantidad relevante tiene un valor estable. En la relación entre oferta y demanda, si el mercado de un bien tiene un precio determinado, cualquiera que quiera comprar el bien a ese precio puede comprarlo y cualquiera que quiera venderlo puede venderlo. En este momento decimos que la oferta y la demanda de este producto básico han alcanzado el equilibrio. El llamado equilibrio de Nash es un resultado de juego estable.
Equilibrio de Nash: En una combinación de estrategias, todos los participantes se enfrentan a una situación en la que su estrategia es óptima si los demás no cambian sus estrategias. En otras palabras, si cambia su estrategia en este momento, su pago disminuirá. En un equilibrio de Nash, ningún jugador racional siente la necesidad de cambiar de estrategia individualmente. La premisa para demostrar la existencia del punto de equilibrio de Nash es el concepto de "par de equilibrio del juego". La llamada "pareja de equilibrio" significa que en un juego de suma cero entre dos personas, el jugador A adopta su estrategia óptima a* y el jugador B también adopta su estrategia óptima b*. Si el jugador A todavía adopta b*, pero el jugador A adopta otra estrategia A, entonces el pago del jugador A no excederá el pago de su estrategia original a*. Este resultado también es válido para el jugador b.
De esta forma, el "par equilibrado" queda claramente definido como: un par de estrategias a* (perteneciente al conjunto de estrategias A) y b* (perteneciente al conjunto de estrategias B) se denomina par equilibrado. Para cualquier estrategia A (perteneciente al conjunto de estrategias A) y estrategia B (perteneciente al conjunto de estrategias B), siempre hay un par par (A, b*) ≤ par par (a*, b*) ≤.
Los juegos de suma distinta de cero también tienen la siguiente definición: un par de estrategias a* (perteneciente al conjunto de estrategias A) y b* (perteneciente al conjunto de estrategias B) se denomina par de equilibrio de un -Juego de suma cero.
Para cualquier estrategia A (perteneciente al conjunto de estrategias A) y estrategia B (perteneciente al conjunto de estrategias B), siempre existe: par par (A, b*) ≤ par par (a*, b*) jugador A; a*) , b) ≤ la pareja del jugador B (a*, b*) en el juego.
Con la definición anterior, el teorema de Nash se desprende inmediatamente:
Cualquier juego de dos jugadores de estrategias puras finitas tiene al menos un par de equilibrio. Este par de equilibrio se llama punto de equilibrio de Nash.
La demostración estricta del teorema de Nash requiere la teoría del punto fijo, que es la principal herramienta para estudiar el equilibrio económico. En términos generales, encontrar la existencia de un punto de equilibrio equivale a encontrar el punto fijo del juego.
El concepto de punto de equilibrio de Nash proporciona un método analítico muy importante, que permite a la investigación de la teoría de juegos encontrar resultados más significativos en una estructura de juego.
Pero la definición de punto de equilibrio de Nash se limita a cualquier jugador que no quiera cambiar unilateralmente su estrategia, ignorando la posibilidad de que otros jugadores cambien sus estrategias. Por lo tanto, la conclusión del punto de equilibrio de Nash a menudo no es convincente. Los investigadores lo llaman vívidamente "punto de equilibrio de Nash inocente y lindo".
R Selten eliminó algunos puntos de equilibrio irrazonables en equilibrios múltiples de acuerdo con ciertas reglas, formando así dos conceptos de equilibrio refinados: equilibrio completo en subjuegos y equilibrio perfecto con mano temblorosa.
Tipos de juegos
(1) Juego cooperativo: estudia cómo las personas asignan los beneficios de la cooperación cuando logran la cooperación, es decir, el problema de distribución del ingreso.
(2) Juego no cooperativo: estudia cómo las personas toman decisiones para maximizar sus propios intereses cuando los intereses se influyen entre sí, es decir, la selección estratégica.
(3) Juegos con información completa e información incompleta: los jugadores tienen una comprensión completa del espacio de estrategia y los pagos bajo combinaciones de estrategias de todos los participantes, lo que se denomina información completa; la información está incompleta.
(4) Juego estático y juego dinámico
Juego estático: se refiere a una situación en la que los participantes realizan acciones al mismo tiempo, o aunque existe una secuencia, este último actor no lo hace. conocer la información del actor anterior.
Juego dinámico: se refiere a la secuencia de acciones de ambas partes. Este último actor puede conocer la estrategia del actor anterior.
Distribución de propiedades y valor de Shapley
Considere un juego cooperativo: A, B, C y C votan para decidir cómo distribuir 6,5438 millones de yuanes. Tienen 50, 40 y. 654,38 000 potencia respectivamente. Según las normas, una propuesta sólo puede aprobarse si más del 50% de los votos emitidos están a favor. Entonces, ¿cómo distribuirlo de manera razonable? Según la distribución de votos, 500.000, B400.000, C65438 100.000, C propuso a A: 700.000, b0, C300.000, B propuso a A: 800.000, B200.000, c0...
Índice de poder: El poder de cada tomador de decisiones en la toma de decisiones se refleja en el número de "participantes clave" en su coalición ganadora. El número de "participantes clave" se denomina índice de poder.
Valor de Shapley: bajo varios órdenes de alianza posibles, la suma de las contribuciones marginales de los participantes a la alianza se divide entre varias combinaciones de alianzas posibles.