Examen de admisión conjunto de la Universidad Xuehai
En 2005, se realizó el tercer examen conjunto de matemáticas de la escuela secundaria superior.
Proposición: Escuela secundaria Hubei Jingmen Longquan Zheng Sheng: Facultad de educación Wuhan Xuehai
Este artículo se divide en dos partes: Volumen 1 (preguntas de opción múltiple) y Volumen 2 (preguntas sin opción preguntas) . ***150 puntos. El tiempo del examen es de 120 minutos.
Fórmula de referencia: pn(k) = cnkpk(1-p)n-k.
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces la fórmula del área de superficie de la pelota
P (a+b) = p (a) diez P (B) S = 4πR2 .
Si los eventos A y B son independientes entre sí, entonces R representa el radio de la pelota.
p(a b) = p(a) p(b) Fórmula del volumen de una esfera.
Si la probabilidad del evento A en un experimento es p, v = 34 π R3.
Entonces existe la probabilidad de exactamente K veces en N repeticiones independientes del experimento, donde R representa el radio de la pelota.
Prueba 1 (preguntas de opción múltiple, ***60 puntos)
1 Preguntas de opción múltiple: Esta gran pregunta consta de ***12 preguntas pequeñas, cada pregunta pequeña vale. 5 puntos, cada pregunta pequeña ***60 puntos. De las cuatro opciones dadas para cada pregunta, sólo una cumple con los requisitos de la pregunta.
1. Supongamos el conjunto completo u = r, el conjunto a = (1, +∞) y el conjunto b = (-∞, 2). Entonces u(a∩b)= 1
A.(-∞,1)∩(2,+∞) B.(-∞,1)∩[2,+∞)
C.(-∞,1]∩[2,+∞) D.(-∞,1]∩(2,+∞)
2.(1+x)5+( En la expansión de 1+x)6+(1+x)7, el coeficiente del término x4 es el término k de la secuencia aritmética {an}, el primer término es -2 y la tolerancia es 3, entonces k =
A.22 B.19 C.20 D.21
3. Secuencia conocida {an}, si a1, A2-A1, A3-A2,…, An- An-1 ,..., es una serie geométrica con el primer término 1 y la razón común 13, entonces An =
a 32(1-13n)b . -1)c 23(1-13n)d . 23(1-13n-1)
4. En △ABC positivo con longitud de lado 1, si,, entonces ++=
a . 32 B- 32 c . 3d .
5. R}, b = {f (x) | f (x+2) =-f (-x), x∈R
A.f (x) ∈ a pero f (x) bb.f. (x) ∈ a y f (x) ∈ b.
C.f (x) a pero f (x) ∈ b d.f (x) a y f (x) b
6. Tres conocidos toman el mismo tren un día Suponiendo que el tren tiene 10 vagones, la probabilidad de que al menos dos personas se encuentren en el mismo vagón es
29144 D.718
a y. = 2x-5+3 b . y = 2x-5-3 c . y = 2x+5+3d . ABCD-a 1b 1c 1D 1, si el punto E está en A1D, A1E = 2ED, el punto F está en AC, CF = 2FA, entonces la relación posicional entre EF y BD1 es
A. no es vertical
C.Paralelo d.Diferentes planos
9. El punto A de la elipse mira a dos focos en ángulo recto.
Supongamos que la línea de extensión de AF1 cruza la elipse en el punto B, y | AB = | AF2 |, entonces la excentricidad de la elipse es E =
A.-2+22
C .2-1 D.3-2
10. La hipotenusa AB del triángulo rectángulo ABC = 2, el radio del círculo inscrito es R, entonces el valor máximo de R es
1
11. Como se muestra en la figura, hay un punto (m, n) en el lado inferior derecho de la línea recta AX+BY+C = 0 (AB ≠ 0. ), luego el valor de AM+BN+C.
A. El mismo número que A, el mismo número que b, el mismo número que A y el mismo número que b.
C. Es diferente de A e igual que b.
12. Supongamos que las raíces de la ecuación 2x+x+2 = 0 y la ecuación log2x+x+2 = 0 son p y q respectivamente, y la función f (x) = (x+p). ) (x+q )+2, entonces
a .f(2)= f(0)<f(3)b .f(0)<f(2)<f(. 3) c . f(3)<f(0)= f(2)d . f(0)<f(3)<Mujer(2)
Prueba 2 (no selección). pregunta, ***90 puntos)
Pregunta para completar los espacios en blanco: esta gran pregunta tiene 4 subpreguntas, cada subpregunta vale 4 puntos y vale 16 puntos. Escribe tus respuestas en las líneas.
13. En la secuencia aritmética {an}, A1 = 3, la suma de los primeros n términos es Sn, S3 = S12. Entonces A8 = _ _ _ _ _ _ _.
14.for-1 < a & lt; 1 produce la desigualdad (12)
15. Los cuatro vértices de la pirámide triangular regular P-ABC están en la esfera con un radio. de 2. Si la longitud del lado de la pirámide triangular regular es 23, entonces la longitud del lado de la base de la pirámide triangular regular es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
16. Dada la siguiente imagen
Entre ellas, puede estar la función f (x) = x4+ax3+bx2+CX+d (a, b, c, d). ∈R) La imagen es _ _ _ _.
Hoja de respuestas
El número de la pregunta es 1 23455 678 9 1 1 1 1 12.
Respuesta
13.____________________ 14.____________________
15.____________________ 16.____________________
3. **6 preguntas, la puntuación es ***74. La solución requiere escribir el proceso de prueba o los pasos de cálculo.
17. (La puntuación total de esta pregunta es 12) (Li) Se sabe que el número complejo Z 1 = COS32+ISIN32, Z2 = COS2-ISIN2, ∈ [0, 2].
(1) Encontrar | z 1+z2 |;
⑵ Sea el valor mínimo de f () = cos 2-2x | g (x), encuentre la expresión de g (x).
(Texto) La pendiente de la gráfica de la función f (x) = x3+AX2+BX+C en el punto (1, f(1)) es 0.
(1) Encuentre la relación entre a y b;
⑵ Si f(x) es una función creciente en R, encuentre los valores de a y b.
p >
18. (La puntuación total para esta pregunta es 12) Como se muestra en la figura, △AOE y △BOE son triángulos equiláteros con longitud de lado 1. Extiende OB a C tal que | BC = t (t > 0), y conecte AC al punto d
(1) Utilice t para representar las coordenadas de la suma vectorial;
(2) Encuentre el ángulo entre la suma vectorial.
(Texto) Cuando = 32°, encuentra el ángulo de la suma vectorial.
19. (La puntuación máxima en esta pregunta es 12) Un corredor en ángulo recto tiene 1,5 metros de ancho. Como se muestra en la figura, hay un carro giratorio con un ancho rectangular de 1 metro.
¿Cuántos metros debe tener la longitud de un vagón plano para que pueda ser empujado suavemente a través del pasillo en ángulo recto?
20. (La puntuación total para esta pregunta es 12) Como se muestra en la figura, se sabe que la base del prisma triangular ABC-A1B1C1 es un triángulo equilátero con una longitud de lado 2 y el lado A1A. un ángulo de 45° con AB y AC , A1E ⊥ B
(1) Verificación: Plano A1EF⊥Plano b 1 bcc 1;
⑵ Encuentra la distancia desde la recta AA1. al plano B1BCC1;
⑶ Cuando AA1 es más largo, la distancia desde el punto A1 al plano ABC es igual al plano B1BCC1.
21. (La puntuación completa para esta pregunta es l2) Supongamos que an = 1+Q+Q2+…+QN-1(n∈n+, q ≠ 1), an = A1+.
(1) an está representado por q y n
(2) Cuando -3
(3) Sea B1+B2+…+BN = an2n; , nivel de prueba El número {bn} es una secuencia geométrica.
(Los estudiantes de literatura solo hacen (1) (3), los estudiantes de ciencias hacen todo)
22 (La puntuación completa para esta pregunta es 14) (Razón) Se sabe que la función f (x) = x ax-1 (A > 0, x∈R).
(1) Cuando a >; 1, encuentre el intervalo monótono y el rango de valores de f(x) y demuestre que la ecuación f (x) = 0 tiene una raíz única
<; p>Cuando 0 es 2(Texto) Se sabe que el foco derecho de la hipérbola C: x2a 2-y2 B2 = 1 (A > 0, b & gt0) es f, y la recta La recta que pasa por f con un ángulo de inclinación de 30° L corta las ramas izquierda y derecha de la hipérbola en los puntos A y B respectivamente. Supongamos que | af | = | BF |, si 2 ≤ ≤ 3, encuentre el rango de excentricidad e de la hipérbola c.
Respuestas de referencia a matemáticas de triple vínculo para estudiantes de secundaria
1. Preguntas de opción múltiple
El número de pregunta es 1 23455 678 9 1 1 1 1 12.
Respuesta C C A B B B D C B D B A
2 Completa los espacios en blanco 13.0 _ 14. x ≤ 0 o x ≥ 2 15.3 _ 16. ① ③.
3. Responda la pregunta 17. (12 puntos) Solución: (racional) (1)| z 1+Z2 | = |(cos 32+cos 2)+I(sin 32-sin 2)|
=(cos 3 2+ cos 2)2+(pecado 3 2-pecado 2)2 = 2+2(cos 3 2 cos 2-pecado 3 2 pecado 2)
= 2+2 cos 2 = 2 cos 4 puntos | .
∫∈[0, 2], ∴cos ≥0, entonces | z1+z2 = 2cos. 5 puntos.
f()= cos 2-2x 2cos = 2cos 2-4x cos-1 = 2(cos-x)2-2x 2-1...7 puntos.
2],∴cos
Si 0≤x≤1, entonces cuando COS = X, el valor mínimo de F() es -2x2-1, es decir, G( X) =-2 x2-1;....8 puntos
Si x < 0, entonces cuando cos = 0, el valor mínimo de f() es -1, es decir, g(x )=- 1; 9 puntos... 9 puntos
Si x & gt1, entonces cuando COS = 1, F() tiene un valor mínimo de 1-4x, es decir, G (x) = 1-4x. .............10 puntos
∴g(x)= 1............. ........ .....12 puntos.
(Texto) (1) f' (x) = 3x2+2ax+b........................ .. ................................................. ............. ................................................. ............................ ............
De f' (1) = 0, obtenemos 3+2a+b = 0 ∴ 2a+b+3 = 0. .......................... ......................................... ........... ................................................. .... .................
La condición f′(x)≥0 es verdadera para x∈R, es decir, 3x2+2ax+b ≥ 0 es cierto para x∈R, 2a+b+3 = 0...
∴△≤0 da (a+3) 2 ≤ 0.
∴ A =-3, B = 3........................ .......... ................................................. ..... ................................................. .................... .................
18. 1) = (12 (t+1), -32 (t+1 )),................. ......................................... .........
∵ = t, ∴ = t, = =11+t t, y = (12, 32)
= - = (12t,-32(t+2)); ∴ = (T2 (t+1), -3 (t+2) 2 (t+1)),...
∴ = ( 2t+12 (t+1), -32 (t+ 1))................................. ............................................................ .................... ..........
⑵ = (t-12, -3 (t+ 1) 2),
∴= 2t+12(t+1 )t-12+32(t+1)3(t+1)2 = T2+t+65438+.
∵| | =(2t+1)2+12(t+1)(t-1)2+3(t+1)22 = T2+t
∴cos<, & gt||||| = 12, el ángulo entre el vector ∴ y es de 60 grados. .....12 en punto
(Texto)T = 12, ∴ = (23, -33), = (-14, -334)
∴ =- 16+ 34 = 712 ......................................... ..... ................................8 puntos.
∵|| = 73, || = 274 = 72 .................. ......10 puntos.
∴cos<, & gt= 71276 = 12, el vector ∴ forma un ángulo de 60° con.
.......12 puntos
19. (12 puntos) Solución: Como se muestra en la figura, extienda el corredor AB que cruza en ángulo recto en A1 y B1, suponga que ∠ CDE 1 =, luego ∠ B1A1E65438.
∫CD = ab = a 1b 1-aa 1-bb 1, y a 1b 1 = 1.5(1sen+1cos.
∴CD = 1.5(1 sen+1cos )-cot-tan = 3(sin+cos)-22 sincos...6 puntos
Supongamos que sin+cos = t, entonces t ∈ (1, 2). = 3t+1+0 T2-1........................ ................. ................................................ .. ......................
Entonces cuando t = 2, ambos términos obtienen el valor mínimo, es decir, cuando t = 4, f (t)min = 32-2.
Es decir, CDmin = 32-2-2, por lo que la longitud del camión de plataforma no puede exceder los 32-2 metros... ....... ................................................. ........................................................ ........................ ........................
20.(12 puntos)(1)cc 1 ‖∴cc1⊥a1e bb1⊥a1e, CC 1e
⑵ Si A1H⊥EF está en h, entonces A1H⊥cara B1BCC1, ∴. A1H es la distancia desde A1 hasta la cara B1BCC1. ∴△A1EF es isósceles Rt △, EF es la hipotenusa, ∴ A12EF = 1.... ................. ................................ ................................ ................. ....
(3) Supongamos que A1G⊥ se enfrenta a ABC en g, y par es AG, entonces A1G está de A1 a la distancia de ABC, AG es la bisectriz de ∠BAC, A1g = 1 .............
∫cos∠ a 1ag = cos 45 cos 30 = 63, ∴ sin ∠ a1ag = 33, ∴ a1a = 133 = 65438+
21. (12 puntos) Solución: (1) ∵ q ≠ 1, an = 1 -qn1-q.......
∴an= 1-q1-q+1-q 21-q+…+1- qn 1-q
= 11-q[(++……+)-(q+Q2+……+qn)]
= 11-q [(++. ..+)-(+q+Q2+...+qn)]................. ................ .................................. ................................. ................... .....
= 11-q[2n-(1+q)n](q ≠1)…………
⑵An2n = 11-q[1- (1+Q2)n], ∫-3 <q <1,∴|1+q2|<1, ∴ an2n = 11-q.................. ......6 puntos.
⑶∫b 1+B2+…+bn = An2n = 11-q[1-(1+Q2)n],
∴b1+b2+…+bn-1= 11-q[1-(1+q2)n-1]
∴bn = 11-q(1+Q2)n-1(-1+Q2+1)= 12(1)
Cuando n = 1, B1 = A12 = 12 se aplica a la fórmula anterior, ∴bn = 12(1+Q2)n-1(n∈.
∴bn+1bn = 1+Q2≠0(∵q≦-1), la secuencia ∴ {bn} es una secuencia geométrica................12. 14 puntos) Solución: (racional) (1) f′(x)= ax+x ax lna =(1+xlna)ax(a >; 1)……… …①
De f′ (x)>:0, obtenemos 1+xlna > 0, x & gt-1 lna; de f′(x)< 0, obtenemos 1+xlna
El intervalo monótonamente creciente de ∴f (x) es (-1LNA, +∞), y el intervalo monótonamente decreciente es (-∞, -1LNA)............. ............ ................................................. ... ........................
Cuando x =-1LNA, f(x)min = f(-1 lna)=-1 lna-1 lna-1 =-1 lna 1E-60
Y f (x) =-1, f (x) = +∞, ∴f( El rango de valores de x) es [-1ELNA-1, +∞)................................. ......... ........................................
∫f( 0)=-1
∴La ecuación f (x) = 0 tiene una raíz real única en el punto [0, +∞]6.
Y f(x) =-1
∴La ecuación f(x) = 0 tiene una raíz real única, y = f(x) sobre (-∞, 0) Todos los valores de la función son menores que 0.
⑵ La función f(|x|) es una función par Sólo necesitamos discutir el número de raíces reales de f (| x |) = 0 cuando x≥0.
I. Cuando a = 1, la ecuación f(x) = 0 tiene una raíz real única x = 1;
Dos. Cuando 0
∫f(0)=-1
Cuando-1ELNA-1
Cuando-1ELNA-1 = 0, es decir, A =, la ecuación F (x) = 0 tiene una raíz real única;
cuando-1 elna-1> es
En resumen:
cuando 0<; /p>
Cuando a = o 1, la ecuación f (| x |) = 0 tiene dos raíces reales;
Cuando < a & lt está en 1, la ecuación f (| x | ) = 0 Hay cuatro raíces reales. ............14 puntos.
(Texto) Solución: Supongamos que A(x1, y1), B(x2, y2), ∵| >∴(c-x1,-y1)=(c-x2,-y2),∴y1= y2,…………①
Sustituye la ecuación de L: y = 33 (x-c) , es decir, x=3y+c se convierte en X2A2-Y2B2 = 1,
Ranking (3b2-a2) y2+23b2cy+B4 = 0, 4 puntos.
∴ y1+y2 =-23bc3b2-a2............................. ..... ................................................. .......... ........................................ ......................... .........
Sustituye ① en ② y ③.
∴(1+)y2 =-23 B2 C3 B2-a2…………④, y22=b43b2-a2…………⑤
④2/⑤(1+ Fracción de )2 = 12c 23 B2-A2 = 12c 23 C2-4 A2 = 12e 23 e 2-4........................ .. ................................................. ............. .......
Supongamos f()=(1+)2 =+1+2(2≤≤3), Es fácil saber que f() está en el intervalo [2, 3] Incrementar.
∴f(2)≤f( )≤f(3), es decir, 92≤f( )≤163, 11 puntos.
∴ 92 ≤ 12E23E2-4 ≤ 163, la solución es 163≤e2≤12, es decir, 433≤e≤23.
El rango de la excentricidad e de la hipérbola c es [433, 23]. ............14 en punto