Preguntas de matemáticas del examen de ingreso a la Universidad de Jiangsu 2010
1. Preguntas para completar los espacios en blanco
1. , 3}, B={a 2, a2 4}, A∩B={3}, entonces el número real a=______▲________
2. 2-3i)=6 4i (donde i es la unidad imaginaria), entonces el módulo de z es ______▲________
3 Hay 3 bolitas del mismo tamaño y 1 bolita negra en la caja. Si se sacan dos bolas al azar, las dos serán de diferentes colores. La probabilidad es_▲__
4. Seleccionó la longitud de 100 fibras de algodón (la longitud de las fibras de algodón es un indicador importante de la calidad del algodón). El resultado Todos los datos están en el intervalo y el histograma de distribución de frecuencia se muestra en la figura. hay _▲___ fibras de algodón con una longitud inferior a 20 mm.
5. Supongamos que la función f(x)=x(ex ae-x), x∈R, es una función par, entonces el número real a=_______▲_________
6. En el plano En el sistema de coordenadas rectangular xOy, hay un punto M en la hipérbola y la abscisa del punto M es 3, entonces la distancia de M al foco derecho de la hipérbola es ___▲_______
7. La figura de la derecha es una figura de flujo de algoritmo, entonces el valor de la salida S es ______▲_______
8. en el punto (ak, ak2) de la imagen de la función y=x2 (xgt; 0) es ak 1, k es un entero positivo, a1=16, entonces a1 a3 a5=____▲_____
9. En el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, se sabe que solo hay cuatro puntos en el círculo hasta la línea recta. La distancia de 12x-5y c=0 es 1, entonces el rango de valores del número real c es ______▲. _____
10. La imagen de la función y=6cosx definida en el intervalo y la imagen de y=5tanx. El punto de intersección es P, y el eje PP1⊥x se dibuja a través del punto P en el punto P1. La recta PP1 y la imagen de y=sinx se cruzan en el punto P2, entonces la longitud del segmento de recta P1P2 es _______▲_____
11, luego el rango de p>
13. En el triángulo agudo ABC, los lados opuestos de A, B y C son a, b, c respectivamente, entonces __▲
14 Consideremos el triángulo equilátero con longitud de lado 1. La lámina delgada es. cortado en dos pedazos a lo largo de una línea recta paralela a la base. Uno de los pedazos es un trapezoide, denotado por S= Entonces el valor mínimo de S es _______▲_______
2. p>
15. (14 puntos) En el sistema de coordenadas rectangular plano xOy, puntos A(-1,-2), B(2,3), C(-2,-1)
(1 ) Encuentre la longitud de las dos diagonales del paralelogramo con los segmentos AB y AC como lados adyacentes
(2) Suponga que el número real t satisface ( =0, encuentre el valor de )? t
16. (14 puntos) Como se muestra en la figura, en la pirámide cuadrada P-ABCD, PD⊥ plano ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC, ∠ BCD=900
( 1) Verificar: PC⊥BC
(2) Calcular la distancia desde el punto A al plano PBC
17 (14 puntos). Un grupo de interés midió la altura H (unidades) de la torre de televisión AE m), como se muestra en el diagrama esquemático, la altura del punto de referencia BC colocado verticalmente es h=4m, el ángulo de elevación ∠ABE=α, ∠ADE=β
(1) El equipo ha medido un conjunto de valores de α y β, tanα =1,24, tanβ=1,20, calcule el valor de H en consecuencia
(2) Después de analizar algunos datos medidos, el equipo descubrió que la distancia d (unidad m) desde el punto de referencia hasta la torre de televisión debe ajustarse adecuadamente. Hacer que la diferencia entre α y β sea mayor puede mejorar la precisión de la medición si la altura real de la torre de televisión es de 125 m. , al preguntar qué es d, α-β es el más grande
18 (16 puntos) En el plano coordenadas rectangulares En el sistema, como se muestra en la figura, se sabe que los vértices izquierdo y derecho. de la elipse son A, B, y el vértice derecho es F. Sean las rectas TA y TB que pasan por el punto T ( ) se cruzan con la elipse en los puntos M, , respectivamente, donde mgt 0,
<; p>①Supongamos que el punto en movimiento P satisface, encuentre la trayectoria del punto P②Supongamos, encuentre las coordenadas del punto T
③Supongamos, verifique: la línea recta MN debe pasar por el eje x- eje Un punto determinado
(sus coordenadas no tienen nada que ver con m)
19. (16 puntos) Supongamos que la suma de los primeros n términos de una secuencia en la que cada término es un número positivo es. Se sabe que la secuencia es una secuencia aritmética con una tolerancia de .
① Encuentra el. fórmula general de la secuencia (expresada en términos)
② Suponiendo que es un número real, la desigualdad es cierta para cualquier entero positivo que satisfaga.
Demuestre: El valor máximo de es
20. (16 puntos) Suponga que la función está definida en el intervalo y su función derivada es. Si hay números reales y funciones, existe gt; cualquiera, de modo que , entonces se dice que la función tiene propiedades.
(1) Suponga una función, donde es un número real
①Demuestre que la función tiene propiedades
②Encuentra el intervalo monótono de la función
(2) Se sabe que la función tiene propiedades, dado, y, si |lt |, encuentra el rango de valores
Preguntas adicionales de ciencia
21 (Elija dos de las siguientes cuatro preguntas para responder, cada pregunta vale 10 puntos)
(1) Conferencias seleccionadas sobre demostraciones geométricas
AB es el diámetro de ⊙O, y D es En un punto ⊙O, traza la recta tangente de ⊙O que pasa por el punto D y corta la recta extendida AB en C. Si DA=DC, prueba AB=2BC
(2) Matriz y transformación
En En el sistema de coordenadas rectangular plano xOy, A(0,0), B(-3,), C(-2,1) , sean k≠0, k∈R, M=, N=, puntos A, B, C Bajo la transformación correspondiente a la matriz MN, el área de los puntos A1, B1, C1 y △A1B1C1 es el doble del área de △ABC. Encuentra el valor del número real k
(3) Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
En el sistema de coordenadas polares, la circunferencia ρ=2cosθ es tangente a la recta 3ρcosθ 4ρsinθ a=0, encuentre el valor del número real a
(4) Conferencias seleccionadas sobre pruebas de desigualdad
Dados los números reales a y b ≥ 0, demuestre :
22. (10 puntos) Una fábrica produce dos productos, A y B. Produce 80 productos de primera del producto A y 20 productos de segunda, del producto B. Producto 90, producto 10 de segunda. Al producir un producto A, si es un producto de primera clase, puede obtener una ganancia de 40.000 yuanes, pero si es un producto de segunda clase, perderá 10.000 yuanes si produce un producto B, si es un; Producto de primera clase, puede obtener una ganancia de 60.000 yuanes, si es un producto de segunda clase, perderá 10.000 yuanes. Si compra un producto, perderá 20.000 yuanes. Suponga que la producción de varios productos es independiente entre sí
(1) Registre x (unidad: 10,000 yuanes) como el beneficio total que se puede obtener de la producción de 1 producto A y 1 producto B, y encuentre la columna de distribución de x
(2) Encuentre la probabilidad de que la ganancia obtenida al producir 4 piezas del producto A no sea inferior a 100.000 yuanes
23 (10 puntos). Se sabe que los tres lados de △ABC son números racionales
(1) Verificar que cosA es un número racional
(2) Para cualquier entero positivo n, verificar que cosnA es también un número racional